Задачи
.pdf(X, τ )
• |
X = |
{ |
a, b, c, d, e, f |
} |
, |
τ = |
X, |
|
, |
{ |
a |
} |
, |
{ |
c, d |
} |
, |
{ |
a, c, d |
} |
, |
{ |
b, c, d, e, f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|||||||||||
• |
X = |
{ |
a, b, c, d, e, f |
} |
, |
τ = |
X, |
|
, |
{ |
a |
} |
, |
{ |
c, d |
} |
, |
{ |
a, c, e |
, |
{ |
b, c, d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
} |
|
|||||||||||
• X = {a, b, c, d, e, f }, |
τ = X, , {a}, {f }, {a, f }, {a, c, f }, {b, c, d, e, f } |
N τ "# $ %
N τ = {N, , N} (N, τ ) %
&
' X = {a, b, c} ( (X, τ )
" {a}, {b}, {b} τ ) τ
* (X, τ ) $ x X %
" {x} τ ) τ
+ X R τ = {X, , , }
(X, τ ) &
- T1 X = R, T1 = {X, , R ,
} ) (X, T1) %
. X = R (X, τ )
•τ = {X, , (−r, r) : r R, r > 0}
•τ = {X, , (−r, r) : r Q, r > 0}
•τ = {X, , (−r, r) : r / Q, r > 0}
/ )
0 ) [0, 1) R
1 ) [a, b] R
) A = {0} {1/n}+n=1∞ R
) R
Int [0, 1) = (0, 1)
Int Q =
Int (R \ Q) =
' ) Q " R
* 2 (X, τ ) X = [0, +∞), τ = {X, , (a, +∞) a > 0} 3 $ Cl {1} Int [0, 1]
+ 4$ Int (0, 1] {2} R
- 4$ Cl N Int (0, 1) R $ T1
.(X, τ ) 2 %
M X 5
M # ,$ Cl , Int &
/ ) R $ $
0 "# 6 Int M = M \ ∂M Cl M = M ∂M
1 ) 7 A = Cl A ∂A A
•T1
•[0, +∞) ! !
" # R $ % % &
' ( % % (R, T1)
•#
•# % )
* # ) +% )
N , -
% )
. / T1 R 0 1
2 3 % %)
4 3 (X, τ ) 5 & 6
(Y, τy) 7 τy
•X = R Y = N
•X = [0, +∞) ! ! Y = N
•X = R T1 Y = N
•X = R T1 Y = {1, 2, 3}
8 3 % # - 6
9 3 X = R τ
% B ) ) [a, b) a, b R
•# -% ) ) % ) ) % )
•# - 6
)
•# - 6
)%
: 3 (X, τ ) ! ! ; % < ( % %
Z = X × X
•# Z
•( % % A = {(x, y) : x + y = 1} Z #
(A, τa)
Задачи по топологии 3
1. Пусть (X; ½) метрическое пространство. Положим ½1 = ½=(1 + ½). Докажите, что ½1 является метрикой.
2. Пусть ½1; ½2 метрики на множестве X. Какие из перечисленных функций являются метриками:
² ½1 + ½2
² minf½1; ½2g ² maxf½1; ½2g ² ½1=½2 ² ½1½2
3. Зададим метрику на плоскости R2 одним из следующих способов:
² ½(x; y) = max jxi ¡ yij,
i=1;2
² ½(x; y) = P2 jxi ¡ yij,
i=1
² ½(x; y) = ³P2 jxi ¡ yij2´1=2,
i=1
² ½(x; y) = ³P2 jxi ¡ yij3´1=3.
i=1
Для каждой метрики нарисуйте шар радиуса r с центром в начале координат.
4. Рассмотрим множество C[0; 1] непрерывных функций, принимающих вещественные зна- чения. Введем две различных метрики на этом множестве:
Z1
² ½1(f; g) = jf(t) ¡ g(t)j dt,
0
² ½c(f; g) = max jf(t) ¡ g(t)j.
t2[0;1]
Докажите, что эти две метрики неэквивалентны. Сравнимы ли соответствующие метрические топологии ?
5.Пусть (X; ½) метрическое пространство. Докажите, что функция ½1 = ½=(1 + ½) является метрикой, эквивалентной ½.
6.Докажите, что если для двух метрик ½1; ½2 на множестве X найдутся положительные константы A; B, такие, что
A½1(x; y) · ½2(x; y) · B½1(x; y)
для любых точек x; y 2 X, то метрики ½1; ½2 эквивалентны.
7.Докажите, что множество A метрического пространства (X; ½) замкнуто тогда и только тогда, когда предел любой сходящейся в X последовательности точек из A принадлежит
A.
8.Приведите пример двух замкнутых непересекающихся подмножеств из R1, расстояние между которыми равно нулю.
9.Докажите, что в любом метризуемом топологическом пространстве можно ввести ограниченную метрику, согласованную с его топологией.
10. Пусть X множество всех ограниченных числовых последовательностей. Пусть x; y 2 X, x = fxkg1k=0 è y = fykg1k=0. Определим метрику формулой
½(x; y) = sup jxk ¡ ykj:
k
Докажите, что (X; ½) полное метрическое пространство.
11.Привести пример неполного метрического пространства и его сжимающего отображения, не имеющего неподвижной точки.
12.Введем на прямой R1 метрику формулой ½(x; y) = j arctan x ¡ arctan yj. Проверить выполнение аксиом метрического пространства. Будет ли это пространство полным ?
13.Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение.
14.Показать на примере, что отображение A, удовлетворяющее условию ½(Ax; Ay) < ½(x; y) äëÿ âñåõ x 6= y, может не иметь ни одной неподвижной точки.