Емкость уединенного проводника

; .

Емкость уединенного проводника, т.е. проводника, бесконечно удаленного от всех остальных проводников, определяется величиной заряда, который нужно сообщить проводнику, чтобы его потенциал был равен единице. При этом предполагается, что аддитивная постоянная в выражении для потенциала выбрана так, что.

.

Емкость уединенного шара: потенциал на расстоянии от металлического заряженного шара. На поверхности шара (и в любой другой точке шара).

Но по определению . Отсюда.

В системе СИ единица измерения емкости – фарада:

1Ф==910¹¹см;

1мкФ=910⁵см, 1 пФ=0.9 см.

Емкость Земли: 610³км=610⁸см<1мФ.

Неуединенный проводник

Его потенциал при сообщении ему определенного заряда существенно зависит от формы и расположения других проводников. Поле заряженного проводника вызывает перераспределение зарядов на других близко расположенных проводниках – в том числе и на незаряженных (явление электростатической индукции).

По достижении равновесия заряды на проводниках распределятся таким образом, что внутри каждого проводника сумма полей, созданных индуцирующим зарядом и индуцированным зарядом, была бы равна нулю.

Две бесконечные параллельные металлические плоскости

1. Вблизи металлической плоскости существует только нормальная компонента поля . где- поверхностная плотность зарядов.

Если имеем пластины конечных размеров, то результат почти тот же, но имеются незначительные отклонения на краях пластин. Плотность поверхностных зарядов , где- заряд одной из пластин.

РИС.15-5

Поле между пластинами .

Зададим расстояние между пластинами и вычислим потенциал:

. Отсюда: - емкость плоского конденсатора.

Вообще говоря, расчет электростатического потенциала требует знания распределения объемной плотности заряда в исследуемом пространстве. Если задано , то из уравнения Пуассонаможно найтипри соответствующих граничных условиях (с точностью до аддитивной постоянной).

В электродинамике доказывается теорема единственности: если удалось найти (чаще всего – просто угадать) функцию , которая удовлетворяет всем условиям задачи, то такое решение будет единственным.

Метод электрических изображений

Решение задач электростатики облегчается некоторыми искуственными приемами, в частности, методом электрических изображений.

РИС.15-6

Эквипотенциаль разделяет все пространство на два полупространстваIиI’.

- заряды в полупространстве I,

- заряды в полупространстве I’.

Сначала вычислили потенциал данной системы точечных зарядов и провели некоторую эквипотенциальную поверхность . Теперь поле вIполностью задается распределением зарядови потенциалом поверхности. Поэтому, если вообразить, что поверхностьявляется проводящей (металлической), то поле во всем пространстве не изменится. Однако поля в полупространствахIиI’ становятся независимыми друг от друга.

В результате мы получаем решение сразу двух задач.

В полупространстве Iпо одну сторону проводящего теланаходятся точечные зарядыНужно найти электрическое поле в этом полупространстве. Оно векторно складывается из полей зарядови зарядов, индуцированных на поверхности.

Однако в силу теоремы единственности поле индуцированных зарядов в полупространстве Iэквивалентно полю, создаваемому зарядамиЗначит, при вычислении поля в полупространствеIможно поверхностьубрать и заменить ее зарядами

Совокупность этих зарядов называется электрическим изображением зарядов в поверхности.

Пример.Точечный заряд над бесконечной проводящей плоскостью

РИС.15-7

РИС.15-8

.

При таком задании потенциала он обращается в нуль на плоскости (так как), следовательно,- эквипотенциаль.

Теперь начинаем вычислять поверхностную плотность индуцированного заряда (Рис. 15-8)

Осевая симметрия относительно оси .- симметрична.

РИС.15-9

,

,

, .

;

,



.

Проверка: полный индуцированный на поверхности заряд должен быть равен. Убеждаемся в этом путем непосредственного интегрирования.

{новая переменная ,}

=- к чему и стремились.

Энергия взаимодействия электрических зарядов

При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия между ними производят некоторую работу . Эта работа происходит за счет убыли энергии взаимодействия между зарядами:

, где - электрическая энергия.

Система электрических зарядов обладает потенциальной энергией.

РИС.15-10

Пусть имеется неподвижно закрепленный заряд +q. Если заряд–q отпустить, то он начнет двигаться в сторону заряда. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов перейдет в кинетическую энергию движения. Вычислим потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов при условии, что.

Итак, неподвижно закреплен заряд .

РИС.15-11

Заряд приносим изв поле зарядадо расстояния. При этом совершается работа. Здесь- потенциал, создаваемый зарядомв точке, где находится заряд, т.е.. Если теперь вносим иззарядв поле неподвижно закрепленного зарядадо расстояния, то совершается работа

;

, ,.

Энергию взаимодействия двух точечных зарядов можно записать в симметричной форме:

.

Собираем систему из трех зарядов

РИС.15-12

В поле заряда вносим заряд(из):

.

В систему зарядов вносим заряд:

.

Полная энергия взаимодействия системы трех зарядов:

- потенциал, создаваемый зарядами ив точке, где находится заряд.

Вообще - потенциал, создаваемый в точке, где находится заряд, всеми остальными зарядами.

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов:

.

Обобщаем полученные результаты на систему объемных и поверхностных зарядов.

Разделяя объемные заряды на элементарные и поверхностные на элементарные, получаем:

, где - значение потенциала полявсехобъемных и поверхностных зарядов в элементе объемаили на элементе поверхности.

Несколько простых примеров

1. Энергия уединенного проводника

Пусть проводник изолирован от земли и совсем не заряжен:. Затем зарядим доq₀.,{заряжаем до уровня,}=

=.

РИС.15-13

2. Энергия плоского конденсатора

РИС.15-14

,

, ,- конденсатор запасает энергию.

Понятие о плотности энергии

.

Рассмотрим простейший случай плоского конденсатора.

; .

Этот результат имеет на самом деле весьма общее значение.

Можно показать:

(это получается из ).

Носителем энергии является электрическое поле, энергия локализована в пространстве так, что в единице объема содержится

-объемная плотность электрической энергии.

Математическое отступление(теорема Грина)

(дополнительный материал)

.

Обозначим вектор как произведение некоторого скаляра на градиент другого скаляра (- некоторые функции координат, непрерывные, конечные, имеющие производные первого и второго порядков).

;

;

.

Подставим полученный результат в формулу, выражающую теорему Гаусса:

- теорема Грина.

Другая форма записи.

Можно взять . Получим:

.

Вычитая, получим:

.

Здесь - любые непрерывные конечные скалярные функции координат, обладающие в области интегрирования производными первого и второго порядков.

Теперь рассмотрим интересующий нас случай энергии взаимодействия:

.

Положим в теореме Грина .

.

Вспоминаем: 1) ,

;

2) .

Подставляя, получаем:

.

Поверхность выделяет из объема могущие лежать в нем поверхности разрыва

(т. е. заряженные поверхности).

Полагаем, что разрыва потенциала не происходит (т.е. по обе стороны заряженной поверхности ).

Тогда, стягивая поверхность к поверхностям разрыва, получим:

где ранее - общая нормаль дляи, т.е. внешняя по отношению к одномуи внутренняя по отношению к другому; теперь- некая новая нормаль, внешняя по отношению к заряженной поверхности.

Тогда .

Итак, при стягивании кполучаем:

.

Соберем теперь полученные результаты.

.

Делим на :

.

Распространим теперь интегрирование по области, где существуют объемные и поверхностные заряды, но и по всей области, где существует поле всех этих зарядов. Это означает, что нужно найти такую поверхность, на которой (во всех точках которой) напряженность поля обращается в 0.

В действительности такой замкнутой оболочки, как правило, не существует, и граница поля .

На самом деле нас интересует обращение в нуль некоторых конкретных величин на так называемой границе поля. Обычно интегрируют по бесконечному пространству, но это можно делать в том и только в том случае, если интегралы всех интересующих нас величин по поверхности объема стремятся к нулю.

Если бесконечно возрастает, это значит, что площадь этой поверхности растет как. Следовательно, подинтегральные выражения в интересующих нас поверхностных интегралах должны убывать быстрее, чемпри.

В нашем случае

.

В дальнейшем будем полагать, что по определению понятия полного поля интегралы по ограничивающей полное поле поверхности обращаются в нуль.

Итак: .

- это бесконечная сумма слагаемых вида .

Итак, носителем энергии является электрическое поле, энергия локализована в пространстве так, что в единице объема содержится:

- объемная плотность электрической энергии.

Математическое отступление окончилось.

Появилась некоторая проблема.

Если мы имеем один точечный заряд, то создаваемое им поле и.

Если воспользоваться формулой , то получим, так как других зарядов, кроме, нет, и никакой потенциал в точке, где он находится, не создается:.

Дело в том, что формула учитывает так называемую собственную энергию заряда. Действительно, если бы мы приписали точечному заряду конечный объем, разбили бы его на элементарные зарядыи посчитали бы его энергию по формуле, то получили бы его собственную энергию.

Собственная энергия заряда– это работа сил взаимного отталкивания, которую они произвели бы, если бы все части заряда разлетелись на.

Полная энергия двух зарядов

- поле заряда №1,

- поле заряда №2,

.

.

;

(- собственные энергии,- энергия взаимодействия).

Из следует, что.

Следовательно, , т.е положительная собственная энергия зарядов всегда больше (или равна) взаимной энергии зарядов, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Значит, при всех возможных перемещениях зарядов, не меняющих размеры и формы,можно считать аддитивными постоянными в выражении для полной энергии, изменение которой обусловлено изменением взаимной энергии зарядов.

Энергия электрического поля не обладает свойством аддитивности:

, !