Электромагнитные волны

Рассмотрим электрическое и магнитное поля в однородной непроводящей среде: ,.

Пусть в этой среде отсутствуют объемные заряды, т.е. .

Уравнения Максвелла (с учетом материальных уравнений) будут иметь вид:

(1)

(2)

(3)

(4).

Применим операцию к уравнению (1):

;

.

(*).

Применим операцию к уравнению (2):

,

(**).

(*) и (**) – волновые уравнения. Это известно из математики и мы чуть позже это покажем.

Итак, магнитный вектор и вектор напряженности электрического поляудовлетворяют одному и тому же уравнению вида:

,- скорость распространения волны.

В вакууме и скорость распространения электромагнитной волны равна- скорости света.

Электромагнитные поля, существующие в вакууме в отсутствие зарядов и токов, называются электромагнитными волнами.

Электромагнитные поля в вакууме обязательно должны быть переменными. Мы уже убедились, что

при , что в вакууме соответствует, и

при , что в вакууме соответствует,

уравнения Максвелла распадаются на независимые уравнения

• электростатики: ,;

• магнитостатики: ,,

которые не имеют никаких решений, кроме тривиальных ,. Следовательно, статических полей в вакууме (в отсутствие зарядов и токов, и именно это означает слово «вакуум») быть не может.

Волновое уравнение для потенциала

В вакууме: (т.к.).

Отсюда: .

Берем уравнение (1): .

.

Будем так выбирать вектор-потенциал, чтобы .

Получаем: .

Записывают это уравнение еще и так

- уравнение д’Аламбера.

, где.

Итак, мы установили, что переменные магнитные поля даже в вакууме порождают электрические поля, а переменные электрические поля даже в вакууме порождают магнитные поля.

Уравнения Максвелла (с учетом материальных уравнений) приводят к волновым уравнениям для электрического и магнитного векторов

(стандартный вид волнового уравнения ,- волновая функция)

Здесь - скорость распространения волны. - показатель преломления среды.

Электромагнитные поля, существующие в вакууме в отсутствие зарядов и токов, называются электромагнитными волнами.

Статических полей в вакууме существовать не может (в этом случае уравнения Максвелла дают тривиальные, т. е. нулевые решения).

Плоские волны

Пусть поле зависит от одной какой-нибудь координаты. Волновое уравнение в вакууме имеет вид:

, где- любая компонента векторов.

Умножаем правую и левую части на :

.

Рассмотрим оператор .

Волновое уравнение можно представить в виде:

.

Введем новые переменные:

.

Их сумма: ;.

Разность: ;.

.

Аналогично

.

Отсюда видно, что уравнение (одномерное волновое уравнение)

в новых переменных имеет вид:

.

Решением этого уравнения является функция , гдеи- некоторые произвольные функции.

Делая обратную замену переменных, находим:

.

Допустим , тогда.

В плоскости полезависит от времени.

В момент времени (фиксированный момент времени, моментальная фотография, «остановись, мгновенье!») полезависит от координаты.

Поле имеет одинаковое значение для координати моментов времени, удовлетворяющих условию

, или(поле распространяется по направлению положительной осисо скоростью).

Отсюда: - этоплоская- волна, распространяющаяся по положительному направлению оси. (Плоская – так как в любой точке плоскостив момент времениона имеет одинаковые значения.)

Аналогичными рассуждениями приходим к заключению, что - это плоская волна, распространяющаяся по отрицательному направлению оси.

Поперечность электромагнитной волны

Потенциалы выбираем так, чтобы .

Последнее условие для нашего одномерного случая имеет вид .

В волновом уравнении, полагая (замена), имеем:

.

Теперь вспомним, что ,

.

В нашем одномерном случае:

.

В вакууме ; следовательно, постоянного электрического поля быть не может, поэтому единственное возможное значениеи.

Вывод:

электрическое поле в электромагнитной волне не может иметь компоненту, направленную вдоль распространения волны, а может лишь в перпендикулярных направлениях.

Что касается магнитного поля, то .

Мы рассматриваем электромагнитную волну, распространяющуюся в положительном направлении оси , т.е.{в этой волне все величины зависят только от}.

.

;.

Электрическое поле: .

Поскольку мы получили , то.

В электромагнитной волне электрический и магнитный векторы перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны.

Поперечность электромагнитной волны– одно из главных ее свойств.

РИС.23-1

Пусть электромагнитная волна распространяется между двумя параллельными отражающими пластинками (упрощенная модель волновода). При этом волны (входящие под углом) отражаются от ограничивающих плоскостей. Осьz-вдоль волновода.

РИС.23-2

Каждая волна, конечно, строго поперечна (по отношению к вектору распространения ).

Однако, в волне, распространяющейся вдоль оси и мало отличающейся от свободной волны, будут составляющие векторовивдоль оси. Эта составляющая определяется путем суммирования компонент. - это результирующие напряженности. В зависимости от конкретных условий распространения волны в волноводе могут появиться компоненты как, так и. Мы будем рассматривать свободные волны, но при отражении и преломлении свободных волн может возникать составляющаяв направлении распространения волны.

Поляризация электромагнитной волны

РИС.23-3

Вектора ивзаимно перпендикулярны и перпендикулярны- направлению распространения свободной электромагнитной волны. Сказанное справедливо во все моменты времени. Однако плоскость, в которой находится вектор(или), от одного момента к другому меняется произвольным образом, так что все направления в плоскостиравноправны ив среднемпо времени вектора(равно как и вектора) расположены вполне симметрично относительно направления распространения волны.

Неполяризованная, естественная волна:

РИС.23-4

Бывают ситуации, когда вектора исохраняют свое пространственное положение, совершая, например, колебания в одной какой-либо плоскости.

РИС.23-5

Поляризацией волныназывается нарушение осевой симметрии относительно направления распространения волны в поперечной волне, выражающееся в том, что величины смещений и скоростей в механической волне или напряженностей электрического и магнитного поля в электромагнитной волне (вообще– смещений) в разных направлениях, лежащих в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, оказываются различными.

Причины возникновения поляризации:

• отсутствие осевой симметрии в излучателе,

• распространение волны в анизотропной среде,

• преломление и отражение волны на границе двух сред.

Чтобы обнаружить поляризацию электромагнитных волн, нужно измерять величины смещений в различных направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Безинерционные приборы будут измерять мгновенные значения смещений, приборы с большой инерцией измеряют среднеквадратичное смещение.

Характер поляризации определяется тем, как связаны между собой значения смещений (мгновенные или среднеквадратичные) для различных направлений, лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Впредельно асимметричном случае, когда направление смещения все время лежит в одной и той же плоскости, проходящей через направление распространения волны, во всех других направлениях смещение равно нулю. В этом случае волна называетсяплоско-поляризованной, а плоскость, в которой лежат смещения, называетсяплоскостью поляризации.

РИС.23-6

При распространении волны плоскость ее поляризации может не оставаться неподвижной, т.е. волна может менять свою ориентацию относительно направления распространения. Например, часто возникает такое колебание, что конец вектора (и ортогонального ему вектора) движется по эллипсу: эллиптическая поляризация. Частным случаем ее является круговая поляризация (циркулярно право - и лево - поляризованный свет); непосредственно наблюдать циркулярную поляризацию невозможно.

РИС.23-7

Эллипс может выродиться в прямую – это плоская (линейная) поляризация. Следовательно, эллиптическая поляризация является наиболее общим случаем поляризации электромагнитных волн.

Поток энергии в электромагнитной волне

В среде с энергия электромагнитного поля:

.

Такое выражение для электромагнитной энергии, вообще говоря, постулируется. Дело в том, что мы можем судить о существовании электромагнитного поля лишь по наблюдаемому нами возникновению или исчезновению (изменению) доступных нашему восприятию форм энергии (тепловой, механической и т.п.) - ведь нашему непосредственному восприятию доступна лишь малая часть спектра электромагнитных волн – световые волны в видимой части спектра.

Возникновение известных нам форм энергии должно происходить за счет какой-то иной, неизвестной нам формы, которую мы называем энергией электромагнитного поля. Приняв это выражение для электромагнитной энергии, мы получаем возможность проверить на опыте всю совокупность уравнений Максвелла.

Выражая электромагнитную энергию в форме объемного интеграла, мы получаем возможность истолковать это выражение так, что энергия определенным образом локализована в пространстве, и объемная плотность энергии определяется соотношением

.

Рассмотрим изменение во времени количества энергии , находящегося внутри объема, ограниченного поверхностью:

.

Ввиду предполагаемой независимости иот времени, дифференцируя, имеем:

.

Вспоминаем, что

;

.

Подставляем:

.

Математическое отступление.

;

.

Следовательно, .

Итак: .

Отсюда:

.

Если поверхность охватывает область полного поля (), то.

Если все находящиеся в поле тела неподвижны, то энергия поля расходуется только на работу электрического поля над токами проводимости ():

(расходуется на джоулево тепло -).

Если среда непроводящая, , то

. Это закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

Рассмотрим теперь случай, когда поверхность не охватывает область полного поля, т.е..

.

Введем вектор: .

Закон сохранения энергии примет вид:

.

Электромагнитная энергия вытекает из рассматриваемого объема через его поверхность в количестве эрг/с. Это утверждение называетсятеоремой Пойнтинга, а вектор- вектором Умова-Пойнтинга.

В каждой точке поля поток электромагнитной энергии (т.е. количество энергии, протекающее в единицу времени через перпендикулярную направлению потока единицу поверхности) равен по величине и направлению вектору Умова-Пойнтинга .

Отсюда, обращаясь к представлению об объемной плотности энергии, имеем:

.

- уравнение непрерывности для плотности потока энергии.

Поток энергии в плоской волне

{правило «бац-цаб»:}

=.

Направление потока энергии совпадает с направлением распространения электромагнитной волны.

Поток энергии распространяется с той же скоростью, что и электромагнитная волна.