Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Алгебра (общая)

Файл:

[ Слоущ ] Высшая алгебра (2 семестр, базовый поток). Задачи с решениями для коллоквиума и экзамена

.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

535.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

4. Привести симметричную матрицу			01
A =	00	1	01
	0	0	1
	@0	0	1A

ортогональным преобразованием подобия к диагональному виду. 5. Привести унитарным преобразованием подобия к диагональному виду самосопряженную матрицу

A = µ1 ¡i¶; где i мнимая единицу, т.е. i2 = ¡1: i 1

6. Привести унитарным преобразованием подобия к диагональному

виду ортогональную матрицу

Ã p12

p12!:

A =

Квадратичные формы. Кривые и поверхности второго

порядка

1.Выразить квадратичную форму

µ2 1¶; f~ = (x; y)t;

©(x; y) = (Af~; f~); A =

через координаты вектора f.

Решение.

µy¶

µ2x + y¶;

Af~ = µ2 1¶ ¢

1 2

x + 2y

~ ~

(Af; f) = (x + 2y)x + (2x + y)y = x

+ 4xy + y

2. Найти симметричную23 £ 3-матрицу A, отвечающую квадратич-

ной форме ©(x; y; z) = x ¡ 3xy + yz:

©(x; y; z) = x

~ ~ ~

¡ 3xy + yz = (Af; f); f = (x; y; z)

Решение. Для симметричной матрицы

A =

и вектора f = (x; y; z)

справедливо равенство

~ ~

+ dy

+ fz

+ 2bxy + 2cxz + 2eyz:

(Af; f) = ax

Сравнивая последнее выражение с исходной квадратичной формой

©(x; y; z) = x2 ¡ 3xy + yz, получим: a = 1; b = ¡32; c = 0; d = 0; e =

21; f = 0, т.е.	0		2	0		2	1	:
A =	0		2	0		2	1	:
		13		¡	3	0
	@	13		¡	2	1
	@	0		2		0A
		¡		1

3. Привести квадратичную форму

©(x; y; z) = x2 + 2xy + 2y2 + 4xz + 5z2

к сумме квадратов методом Лагранжа (выделением полных квадратов). Определить какого типа поверхность задает уравнение

©(x; y; z) = 1.

Решение. Выделим полный квадрат из слагаемых содержащих переменную x:

© = (x + y + 2z)2 + y2 + z2 ¡ 4yz:
Сделаем замену переменных:
x1 = x + y + 2z;		x = x1	¡	y1	¡	2z1;
8 y1 = y;	()	8 y = y1;	¡		¡
< z1 = z;	()	< z = z1;
:		:

и получим © = x21 +y12 +z12 ¡4y1z1. Выделив в последнем выражении полный квадрат, прийдем к равенству

					© = x12 + (y1 ¡ 2z1)2 ¡ 3z12:
Сделав замену переменной							= y2	+ 2z2;		8 y = y2	+ 2z2;
8 y2	= y1		2z1;			8 y1
x2	= x1	;				x1 = x2		;		x = x2	¡ y2 ¡ 4z2;
< z2 = z1;¡ ()						< z1 = z2;			()	< z = z2;
:	2		2		2	:	2	2 ¡	2	:
окончательно получим © = x2 + y2									3z2. Уравнение ©(x; y; z) =
1 () x2		+ y2		¡ 3z2		= 1	задает однополстной гиперболоид. От-

метим, что метод Лагранжа не дает возможности определить полуоси гиперболоида. Разные замены переменных могут привести к

уравнению ®1x~2 + ®2y~2 + ®3z~2 = 1, и коэффициенты ®1, ®2 и ®3 зависят от используемой замены переменных. При этом, согласно

закону инерции квадратичных форм, число положительных, отрицательных и нулевых чисел среди ®1, ®2 и ®3 не зависит от замены переменных, что и позволяет определить тип поверхности.

4. Привести квадратичную форму

©(x; y; z) = 2x2 + y2 ¡ 4xy ¡ 4yz

к сумме квадратов при помощи ортогонального преобразования. Определить какого типа поверхность задает уравнение ©(x; y; z) = 1 и найти метрические характеристики этой поверхности.

Решение. Квадратичная форма ©(x; y; z) = 2x2 + y2 ¡ 4xy ¡ 4yz

может быть записана в виде	0¡2			¡21			f~ = (x; y; z)
©(x; y; z) = (Af~; f~); где A =	0¡2		1	¡21		;	f~ = (x; y; z)	:
	@	2	¡2	0	A		t
	@	0	¡2	0	A

Приведем матрицу A ортогональным преобразованием подобия к диагональному виду. Это заведомо возможно, т.к. матрица симметрична. Характеристический многочлен матрицы A имеет вид

2 ¡ ¸

¡2

dA(¸) =

1 ¡ ¸

¡2¯

(¸

1)(¸ + 2)(¸

4):

¸¯

Можно найти нормированные¯

собственные¯

векторы f1 =

;

2 t

;

1 t

значениям

=¡

¡2¡,

, отвечающие собственным ¡

¸1

¸2¢

¸¡3

¢4. Векторы

f~1, f~2, f~3

автоматически

оказываются ортогональными друг другу и образуют ортонорми-

рованный базис в R3.													~ ~	~	:
													~ ~	~
Составим теперь ортогональную матрицу T из столбцов f1, f2														, f3
	0	3	2	2	¡1		1		0		¡	1
		2		1	2					1	0	0
		3	3	3	3	2	A	; T ¡1AT =	@2	1	0	0
T =	@¡		3	3	3		A		@2	0	20	4A	:
T =		1		2						0	2	0	:
				3		3

Делая в квадратичной форме ©(x; y; z) = 2x +y ¡4xy¡4yz замену переменных

2 @

x = 32x1 + 31y1 + 32z1;

¡ 2

= T

y =

2y1

2z1;

0 1 0 1 ()

3 21

2 ¡

< z =

3x1 +

3y1 +

3z1;

получим © = ¸1x1

+ ¸2y1

+ ¸:3z1 = x1

2y1 + 4z1. Уравнение

©(x; y; z) =

+ 4z

однополостной

()

1 задает

гиперболоид с полуосями 1,

(вещественными) и p

(мнимой).

5. Методом Лагранжа преобразовать уравнение x1x2 + x1 + x2 = 1 к стандартному виду и определить тип кривой.

Решение. Сделав следующее преобразование координат

y1 = x1 + x2	x1 =	y1+y2
y1 = x1 + x2	x1 =	2
½ y2 = x1 ¡ x2	() ½ x2 =	y1¡2 y2

получим уравнение 14(y12 ¡y22)+y1 = 1 () y12 ¡y22 +4y1 = 4. Выделяя в этом уравнении полный квадрат:

(y1 + 2)2 ¡ y22 = 8;

и делая новую замену переменных:

z1 = y1 + 2;	x1 =	z1		+z2		¡ 1;
		z	1	2 z
½ z2 = y2;	() ½ x2 =			¡2	2	¡ 1;

получаем

z12 ¡ z22 = 8:

Таким образом, уравнение задает гиперболу. Определить ее полуоси методом Лагранжа невозможно.

6. Ортогональным преобразованием и сдвигом преобразовать уравнение x2 + y2 + z2 ¡ 2xy ¡ 2zx ¡ 2yz + 2x = 1 к стандартному виду, определить тип поверхности и ее метрические характеристики.

Решение. Прежде всего приведем квадратичную форму ©(x; y; z) = x2 + y2 + z2 ¡ 2xy ¡ 2zx ¡ 2yz к каноническому виду ортогональным преобразованием. Квадратичная форма ©(x; y; z) может быть записана в виде

~ ~

©(x; y; z) = (Af; f);

A =	0¡1	1	¡11		; f~ = (x; y; z) :
	1	¡1	¡1	A	t
	@¡1	¡1	1	A

Диагонализуем симметричную матрицу A ортогональным подобным преобразованием. Характеристический многочлен матрицы A

имеет	вид	dA(¸) =	¡(¸ ¡ 2)2(¸ + 1). Решая	задачу (A ¡
2I)~x	=	~	общее решение ~x =	t
2I)~x	=	0, получим	общее решение ~x =	C1(¡1; 1; 0) +

C2(¡1; 0; 1), ортогонализуя и нормируя полученную фундаментальную систему решений, получаем два ортогональных и нормиро-

ванных собственных вектора, отвечающих собственному значению

t ~

¸1 = ¸2 = 2: f1

= (¡1= 2; 1= 2; 0) , f2

= (1= 6; 1= 6; ¡2= 6).

Третий нормированный собственный вектор, ортогональный двум

предыдущим, соответствует собственному значению ¸3 = ¡1: f3

(1=p

; 1=p3; 1=p3)t. Далее, составим ортогональную матрицу T из

столбцов f1

, f2

, f3:

p13C

00 0 ¡11

B 0 ¡p26

; T ¡1AT =

2 0

T = 0¡p12

p16

p131

0 2 0

При замене переменных

8 y = p12x1 + p16y1 + p13z1;

0y1 = T 0y11

x = ¡p

+ p

z1;

@ A

¡ 6

() >

< z = p

+ p

уравнение переходит в следующее: 2x1

+2y1

¡z1¡p

x1+p

y1+p

1. Выделим в последнем уравнении полные квадраты:

2(x1 ¡ p

)

+ 2(y1 + p

)

¡ (z1 ¡ p

) = 1:

Сделав замену переменной

8 y2

= y1 + p24;

0y1 = 0y21 + 021

x2 = x1 ¡ p

;

< z2

= z1 ¡ p3;

@ A @ A @2A

()

x =

x2 + p1

+ p1

z2;

8 y = p1

x2 + p1

y2 + p1

z1 + 21;

() >

< z = ¡p

y2 + p

z2 + 2;

приходим к уравнению 2x22 + 2y22 >z22

= 1 однополостного гипербо-

лоида с полуосями p

, 1 (последняя полуось мнимая).

Задачи для самостоятельного решения

1. Выразить квадратичную форму

; f~

= (x; y)t;

через координаты вектора f.

2. Найти симметричную 32

£ 3-2матрицу A, отвечающую квадратич-

+ y

+ xz ¡ 2yz:

+ y

~ ~

+ xz ¡ 2yz = (Af; f); f = (x; y; z)

3. Привести квадратичную форму

4. Привести квадратичную форму

5.Методом Лагранжа преобразовать уравнение x21 ¡ 2x1x2 + x22 ¡ 4x1 ¡ 6x2 + 3 = 0 к стандартному виду и определить тип кривой.

6.Ортогональным преобразованием и сдвигом преобразовать уравнение 4xy + y2 + 4yz + 2z2 ¡ 4x ¡ 2y ¡ 5 = 0 к стандартному виду, определить тип поверхности и ее метрические характеристики.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Алгебра (общая)