[ Лялинов ] Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке

зательством). Подобные матрицы. Инварианты подобия. О приведении матрицы к диагональному виду подобным преобразованием (Основная теорема). Преобразование координат вектора и матрицы оператора при замене базиса. Функции от матриц. Два способа определения. Тождество Кэли (без доказательства).

Билинейные формы. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Метод Лагранжа и другие методы. Закон инерции квадратичной формы. Индексы инерции.

Ядро и образ оператора. Теорема Фредгольма о разрешимости линейного уравнения.

Евклидовы пространства. Аксиомы скалярного произведения в вещественном евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буня- ковского-Шварца и неравенство треугольника. Примеры. Лемма < Ax; y >Rn= < x; Aty >Rn. Комплексные евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца и неравенство треугольника. Примеры. Лемма < Ax; y >Cn=< x; A¤y >Cn. Ортогональность и линейная независимость. Теорема Пифагора. Угол между векторами. Ортонормированая система. Примеры. Ортогонализация системы векторов по Шмидту.

Коллоквиум (начало апреля).

Задачи 1-9 соответствуют материалу коллоквиума, остальные – материалу экзамена во втором семестре.

2.1.1.Линейные пространства.

21

Ранг матрицы левой части равен двум, следовательно, можно выразить два неизвестных через остальные. Выберем в качестве базисного минора, например, минор, образованный 1-м и 4-м столбцами, тогда 1-е и 4-е неизвестные определятся единственным образом через 2-е и 3-е. Значения 2-го и 3-го неизвестного остаются произвольными, эти неизвестные называются свободными, а 1-е и 4-е - главными.

Решение. Система отличается от предыдущей наличием правых частей. Совершая аналогичные преобразования, получаем равносильную систему

Главные неизвестные – x1 и x4, а свободные – x2 и x3.

Ответ: x1 = 2x2 ¡ x3 ; x4 = 1. Эти равенства выделяют в четырехмерном пространстве векторов-столбцов двумерное подпространство решений однородной системы. Общее решение имеет вид суммы общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений,

C1(¡1; 0; 1; 0)t + C2(2; 1; 0; 0)t + (0; 0; 0; 1)t:

Решение. Сначала умножим первое уравнение на ¡1 и сложим с последним, затем умножим первое уравнение на ¡2 и сложим со

22

Так как ранг равен двум, то количество базисных векторов - два, и размерность подпространства равна двум. В качестве базиса можно взять любую линейно независимую пару из четырех данных векто-

¡! ¡!

ров, например, f1 и f2 .

Для нахождения линейной зависимости (если она не видна непосредственно) надо решить однородную систему уравнений относительно ®1, ®2, ®3, ®4. Эта система - координатная запись условия

23

Итак, ®1 = ®3+®4, ®2 = ¡®3¡2®4, где ®3 и ®4 произвольны. Нужные значения можно получить, полагая, например, ®3 = 1, ®4 = 0, тогда

2. Найти размерность и базис подпространства L, натянутого на данные векторы; eсли эта система векторов линейно зависима, то

где ®1, ®2, ¯1, ¯2 -произвольные коэффициенты. Другими словами,

¡! ¡! ¡! ¡!

L1 + L2 есть линейная оболочка системы векторов f1 , f2 , g1 , g2 , и размерность суммы равна рангу матрицы, составленной из координат этих векторов:

В качестве базиса суммы можно взять любые три вектора из че-

¡! ¡! ¡!

тырех, например f1 , f2 и g1 , так как из приведенного вычисления видно, что эта тройка линейно независима.

Далее, согласно известной формуле dim(L1 + L2) = dim(L1) + dim(L2) ¡ dim(L1 \ L2), можно утверждать, что dim(L1 \ L2) =

24

1. Проверим это непосредственным вычислением и заодно найдем базис пересечения

Условия (1) накладывают ограничение на произвол в выборе чисел ®i, ¯i. Другими словами, ®1, ®2, ¯1, ¯2 должны удовлетворять линейной системе, полученной приравниванием координат вектора ~x в разложениях (1):

®1 ¢ 1 + ®2 ¢ 1 = ¯1 ¢ 1 + ¯2 ¢ 1 ;

®1 ¢ 2 + ®2 ¢ 1 = ¯1 ¢ 3 + ¯2 ¢ 0 ; ®1 ¢ 0 + ®2 ¢ 1 = ¯1 ¢ 0 + ¯2 ¢ 1 ; ®1 ¢ 1 + ®2 ¢ 0 = ¯1 ¢ 1 + ¯2 ¢ 0 :

Переносим все слагаемые в левые части и решаем однородную си-

матрицы левой части равен трем, следовательно, размерность подпространства решений равна единице. Связь ®i, ¯i: ®1 = ¯2; ®2 =

25

странство L2 натянуто на векторы ~g1; :::;~gm. Найти размерность и

2.1.2.Евклидовы пространства

5. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам (1; 1; 1; 1),

(1; ¡1; ¡1; 1), (2; 1; 1; 3).

6. Посредством процесса ортогонализации найти ортогональный базис в подпространстве, натянутом на векторы (1; 2; 1; 3), (4; 1; 1; 1),

(3; 1; 1; 0).

Задача. Найти ортонормированную фундаментальную систему решений для системы уравнений

½3x1 ¡ x2 ¡ x3 + x4 = 0 ; x1 + 2x2 ¡ x3 ¡ x4 = 0 :

Решение. Условие задачи означает, что требуется построить ортонормированный базис в подпространстве решений. Применим метод Гаусса

Ранг равен двум, следовательно, подпространство решений двумерно, и искомая система решений состоит из двух векторов. Мы сначала найдем два ортогональных между собой решения, а затем их нормируем. В качестве 1-го вектора можно взять произвольное ре-

шение, например, положим ¡!x2 = 0, x4 = ¡1, тогда x3 = 2, x1 = 1. Итак, 1-й базисный вектор y1 = (1; 0; 2; ¡1). Для нахождения 2-го

26

базисного вектора присоединим к системе (2) условие ортогональ-

Это - линейная система для ®1, ®2:

½ 7®1 + 6®2 = 8 ; 6®1 + 11®2 = 1 :

¡!

Решение этой системы: ®1 = 2, ®2 = ¡1. Таким образом, xL =

¡! ¡! ¡! ¡!

2A1 ¡ A2 = (3; 1; ¡1; ¡2). Вектор xM находится по формуле xM =

27