Следствия
Если число элементов группы является простым, группа является циклической и каждый элемент, отличный от нейтрального элемента, является порождающим элементом группы.
A, G & |A|=p & (k p (k=1 k=p)) c A (ord(c)=1 ord(c)=p)
c A (c=e ( x A k x=ck)) ord(c)=|Bc|, Bc={x | k x=ck}
Порядок элемента – число различных значений его степеней.
При простом числе элементов алгебраическая группа единственна с точностью до обозначений элементов и является коммутативной группой (изоморфна алгебре сложения классов вычетов по модулю простого числа).
A, G & |A|=p & (k p (k=1 k=p)) A, ~ p, +
В группе с простым числом элементов не может быть собственных
подгрупп.
A, G & |A|=p & (k p (k=1 k=p)) & B A & ( x B y B x y B)
(B=A) (B= {e})
Эквивалентность элементов по разбиению на смежные классы по подгруппе
Назовем два элемента эквивалентными по левому (или правому) семейству классов разбиений на левые (правые) смежные классы по подгруппе, если они принадлежат одному и тому же левому (правому) смежному классу.
L |
z B & y z B |
R |
x y z x |
x y z x B z & y B z |
|
B |
|
B |
|
||
Каждый элемент принадлежит своему классу |
||
x x B : |
e B x e x B x x B |
|
Каждый смежный класс представляет собой в точности множество всех своих образующих элементов.
( y x B & |
y y B) y x B y B x B y B |
|
|
|
|
L |
B y x B |
R |
x y x y |
x y x B y y B x |
|
B |
|
B |
Необходимое и достаточное условие эквивалентности элементов
|
L |
|
x y y 1 x B x 1 y B |
|
B |
|
R |
|
x y x y 1 B y x 1 B |
|
B |
|
|
L |
x=y b & b B y-1 x= y-1 y b & b B y-1 x=b & b B y-1 x B |
x y |
|
B |
|
|
|
Пример некоммутативной группы
abc 0 abc
Перестановки
abc 1 acb
abc 2 cba
abc 3 bac
abc 4 cab
abc 5 bca
Алгебра композиций перестановок A,
A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
1 2 = 5
abc 1 acb 2 bca
2 1 = 4
abc 2 cba 1 cab
Не коммутативная
Наличие нейтрального элемента
abc 0 abc
Перестановки
abc 1 acb
abc 2 cba
abc 3 bac
abc 4 cab
abc 5 bca
Нейтральная перестановка
1 0 = 1
abc 1 acb
0 acb
0 1 = 1
abc 0 abc 1 acb
x 0 = 0 x = x
Ассоциативность композиции перестановок: |
(p q) r=p (q r) |
abc 0 abc
Перестановки
abc 1 acb
abc 2 cba
abc 3 bac
abc 4 cab
abc 5 bca
1 2 = 5
abc 1 acb 2 bca 5 cab
3
(1 2) 5 = 5 5 = 4
2 5 = 3
abc 2 cba 5 bac
1 3 = 4 |
1 (2 5) = 1 3 = 4 |
|
abc 1 acb 3 cab
Обратимость композиции перестановок p q p q=q p=0
abc 0 abc |
|
Перестановки |
1 1 = 0 |
abc 1 acb |
abc 1 acb 1 abc |
|
|
abc 2 cba |
4 5 = 0 |
|
|
abc 3 bac |
abc 4 cab 5 abc |
|
|
abc 4 cab |
|
abc 5 bca
Таблица Кэли для группы композиций перестановок трех символов
abc 0 abc
Перестановки
abc 1 acb
abc 2 cba
abc 3 bac
abc 4 cab
abc 5 bca
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||
1 |
|
1 |
0 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
||
2 |
|
2 |
4 |
0 |
5 |
1 |
3 |
|
||
3 |
|
3 |
5 |
4 |
0 |
2 |
1 |
|
||
4 |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
5 |
0 |
|
||
5 |
|
5 |
3 |
1 |
2 |
0 |
4 |
|
||
Обращение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0–1=0 |
|
1–1=1 |
2–1=2 |
3–1=3 |
|
4–1=5 |
5–1=4 |
|||
0 
1 
2 
3 
4 
5
0 0 
1 
2 
3 
4 
5
1 1 
0 
5 
4 
3 
2
2 2 
4 
0 
5 
1 
3
3 3 
5 
4 
0 
2 
1
4 4 
2 
3 
1 
5 
0
5 5 
3 
1 
2 
0 
4
4 
4 4=5 
S4
4 5=0
Подгруппы: замкнутые подмножества
Несобственные:
{0}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Собственные:
{0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {0, 4, 5}
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
3 |
||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
|
0 |
3 |
||||
1 |
|
1 |
0 |
2 |
|
2 |
0 |
3 |
|
3 |
0 |
||||
|
|
0 |
4 |
5 |
|
|
|
|
[0] |
[1] |
[2] |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[0] |
|
[0] |
[1] |
[2] |
||
0 |
|
0 |
4 |
5 |
~ |
|||||||
4 |
|
4 |
5 |
0 |
[1] |
|
[1] |
[2] |
[0] |
|||
5 |
|
5 |
0 |
4 |
|
[2] |
|
[2] |
[0] |
[1] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разбиение на левые смежные классы по подгруппе {0,1}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||||||
0 {0,1}=1 {0,1}={0,1} |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
3 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
1 |
3 |
||||||
2 {0,1}=4 {0,1}={2,4} |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
0 |
|||
3 {0,1}=5 {0,1}={3,5} |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
1 |
2 |
0 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A L{0,1} = {{0,1}, {2,4}, {3,5}}