Два класса четырехэлементных групп |
A, : |
A {0,1,2,3} & |
e 0 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
1 |
|
1 |
0 |
3 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
1 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
3 |
|
3 |
2 |
0 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|||||
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
|
1 |
3 |
0 |
2 |
|||||
2 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
|
2 |
0 |
3 |
1 |
|||||
3 |
|
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямые произведения и степени алгебр
A, 
B, 
A B, 
x A, y B, |
u A, v B |
(x, y) A B, |
(u,v) A B |
x u A, y v B, (x u, y v) A B
(x, y) (u,v) (x u, y v)
A, 
n 
An , 
i xi A & yi A |
|
|
|
||
(x , x |
, x |
) An , |
( y , y |
, y |
) An |
1 2 |
n |
|
1 2 |
n |
|
(x1, x2 , xn ) ( y1, y2 , yn ) (x1 y1, x2 y2 , , xn yn )
Окончание примера: группа двоичных векторов
B {0,1} |
B2 {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} |
|
B, 2 B2 , |
B,
|
|
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
||||||
|
0 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
2 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
3 |
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
(0,0) |
(0,1) |
(1,0) |
(1,1) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(0,0) |
|
(0,0) |
(0,1) |
(1,0) |
(1,1) |
(0,1) |
|
(0,1) |
(0,0) |
(1,1) |
(1,0) |
(1,0) |
|
(1,0) |
(1,1) |
(0,0) |
(0,1) |
(1,1) |
|
(1,1) |
(1,0) |
(0,1) |
(0,0) |
f (0) |
(0,0) |
|
f |
|
|
f (1) |
(0,1) |
|
|
||
A, |
~ |
B2 , |
|||
|
|
||||
f (2) |
(1,0) |
1 |
|
||
|
|
||||
f (3) |
(1,1) |
|
|
|
Замкнутые по операции подмножества.
Подалгебры
Подгруппы
Смежные классы
Разбиения группы на смежные классы по подгруппе
A, — алгебра.
B A |
x B y B x y B |
|
B замкнуто по |
B, — подалгебра A, |
|
|
|
|
|
|
|
A, G & B A &
B замкнуто по &
B, G B, — подгруппа A,
|
|
|
|
Подгруппы |
||
|
|
|
|
|||
|
B, — подгруппа A, : |
|
|
|||
|
1) x B y B |
x y B |
• Замкнутость по операции |
|||
|
|
|
x 1 B |
|
||
|
2) |
x B |
|
• Замкнутость по обращению |
||
|
3) |
e B |
|
|
• Наличие нейтрального элемента |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
В конечной группе степени каждого элемента образуют подгруппу.
c A Bc, — подгруппа A, :
1) x B & y B x ci & y c j x y ci c j ci j x y B |
|
||
c |
c |
c |
|
2) x B & ck e x ci & y c j &i j k x y e & y B x 1 |
y & x 1 B |
||
c |
|
|
|
3) ck e e B
Смежные классы
A, , B A, x A
Левый смежный класс x по B
x B={x b | b B}
A, , B A, x A
Правый смежный класс x по B
В x={x b | b B}
Если алгебра является группой, соответствие между выделенными заголовками и элементами на строке (или на столбце) будет взаимнооднозначным.
В группах любое подмножество и оба его смежных класса (левый и правый) при любом образующим элементе будут равномощными множествами.
y B f(y)=x yy B g(y)=y x
Разбиение группы на смежные классы по подгруппе
Если множество B образует подгруппу в группе A, , то множество (семейство) смежных классов (неважно, левых или правых) образует разбиение множества A.
Любой смежный класс не является пустым множеством e B x x B B
Семейство смежных классов покрывает множество A x x B 
Если два класса имеют общий элемент, они полностью совпадают.
x B y B x B = y B
Пусть два класса пересекаются (имеют общий элемент):
x B y B z z x B & z y B z u B v B z=x u=y v
Покажем, что x B y B
t x B
b B t=x b=x e b=x u u-1 b=y v u-1 b=y w & w=v u-1 b & w Bw B t=y w t y B 
(t x B t y B) x B y B
x B y B & y B x B x B = y B
Число элементов в конечной группе A, равно числу элементов в подгруппе B, , умноженному на число различных левых смежных
классов по данной подгруппе
Число различных левых смежных классов подгруппы совпадает с числом различных правых смежных классов.
Это число равно частному от деления числа элементов А на число элементов в B и называется индексом подгруппы.
|A LB| = |A RB| = |A| / |B|
Теорема Лагранжа о числе элементов подгруппы
|A| = |B| |A LB| = |B| |A RB| |B| |A|
(« » —инфиксный символ для обозначения отношения делимости чисел)
Подгруппа по числу элементов должна быть делителем числа элементов в конечной группе.