Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дискретка / algebra.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

23.05.2015

Размер:

720.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Алгебраические группы – ассоциативные алгебры, где все элементы обратимые

Алгебраическая группа – это алгебра с ассоциативной операцией и нейтральным элементом, в которой у каждого элемента имеется

обратный элемент.

Бинарные

алгебры

	Использованная	Ассоциативные Не ассоциативные
	Использованная	(полугруппы)
	классификация:	(полугруппы)

e A x A	e A x A
e x=x e=x	e x=x e=x
(моноиды)

Все элементы обратимы	Не все элементы обратимы
(группы)

B алгебраической группе у каждого элемента есть единственный двусторонний обратный элемент

x A !y A x y=e

Унарная операция обращения	Решение	a x=b x=a1 b
x-1 x=x x-1=e	уравнений	y a=b y=b a1

Свойства групп

b-1 a-1 a b=b-1 e b=b-1 b=e

3.В таблице Кэли для группы в пределах каждого столбца и каждой строки все элементы различны. Следует из двусторонней сократимости.

4.В конечной группе каждый столбец и каждая строка таблицы Кэли представляют перестановку всех элементов множества.

5.Каждая алгебраическая группа изоморфна композиции некоторого подмножества биективных функций некоторого множества (терема Кэли)

Например, сопоставим каждому элементу a свою функцию fa(x)=x a. F(a)=fa, Тогда F(a b)=fa b. fa b(x)= x a b=fb(x a)=fb(fa(x))=(fa fb)(x).

Искомый изоморфизм: F(a b) = F(a) F(b)

Латинский квадрат

Латинский квадрат – таблица, где в пределах каждой строки и каждого столбца все элементы различны.

Таблица Кэли каждой конечной группы представляет собой латинский квадрат.

Примеры

Группа из двух элементов

	a	b		a 1	a


a	a	b	e a
				b 1	b
b	b	a

Изоморфна логическому и 2,+

	0	1		[0]	[1]


0	0	1
			[0]	[0]	[1]
1	1	0	[1]	[1]	[0]

Группа из трех элементов

e 1

e e e

a 1

b a e

b 1

a b e

Изоморфна 3,+

[0]

[1]

[2]

f (e) [0]

[0]

[1]

[2]

f (a) [1]

[1]

[2]

[0]

f (b) [2]

[2]

[0]

[1]

Формальные степени в примере

	e	a	b		e1 e,		e2 e1 e i ei		e B {e}
					e1 e,		e2 e1 e i ei		e B {e}
e	e	a	b							e
e	e	a	b	a1	a, a2		a a b,	a3 a2 a b a e
a	a	b	e	a1	a, a2		a a b,	a3 a2 a b a e
a	a	b	e	a4	a3 a e a a a1...					B {e, a,b}
b	b	e	a	a4	a3 a e a a a1...					B {e, a,b}
b	b	e	a							a
				b1 b,		b2 b b a, b3 b2 b a b e
				b4 b3		b e b b b1...			B	{e,b, a} B
									b		a
		e					a			b
		e
						e	b=a-1			e	a=b-1
		Se					Sa			Sb

Латинские квадраты 4x4

A, :

A {0,1,2,3} &

e 0

1		0	1	2	3	2		0	1	2	3

	0	0	1	2	3		0	0	1	2	3
1		1	0	3	2	1		1	0	3	2
2		2	3	0	1	2		2	3	1	0

3		3	2	1	0	3		3	2	0	1

3		0	1	2	3	4		0	1	2	3

	0	0	1	2	3		0	0	1	2	3
1		1	2	3	0	1		1	3	0	2
2		2	3	0	1	2		2	0	3	1
3		3	0	1	2	3		3	2	1	0

3	0	1	2	3	0
0	0	1	2	3	S0
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

21 2 2 1

22 21 3 2

2 3 2 0

				12 11 1
	11 1			3
				1 3 1 2
		S1



14 13 3 1			13 12 3 1
14 13 3 1			13 12 3 1
3 3 1 0			2 3 1 3 1 1

				32 31 3
	31 3			3
				3 3 3 2
		S3



34 33 3 3			33 32 3 3
34 33 3 3			33 32 3 3
1 3 3 0			2 3 3 1 3 1

B {x \| k x 1k } {1, 2, 3, 0} A B		{x \| k x 3k }
1	3
B	{x \| k x 2k } {2, 0} A	B {x \| k x 0k } {0}
2		0

			Сложение показателей формальных степеней с учетом
			цикличности ряда
			цикличности ряда																								12 11 1
																											12 11 1
																			11 1									3
																											1 3 1 2
			c			m		c		n	c		m n									S1
						m				n			m n



	3					2		3 3			2 1							14 13 3 1							13 12 3 1
	3					2												14 13 3 1							13 12 3 1
1		3 1																3 3 1 0							2 3 3 3 1 1
13 12								15 14 1 0 1 1										3 3 1 0							2 3 3 3 1 1
13 12								15 14 1 0 1 1
		3										3				3
																								Доопределим
																								Доопределим

k c				k			e,				c	k 1		c	k			1						a			a0 e
k c							e,				c			c		c c c

m k & n k																						cm cn c(m n)mod k
														m n			, m n k
c	m	c			n		c		m n			c		(m n)mod k			, m n k						12 12			2 2 0
c		c					c				c						, m n k							3		3
																								3		3
																	, m n k			2	2			4			4mod 4	0
												e					, m n k			1	3 1			1		1		1 0

Циклические группы

A, G – циклическая c A x A i x=ci Bc=A

Взаимно-однозначное соответствие:

c0	f	0
c1	f	1
c2	f	2

ck 1	f	k 1

c0 e

c 1 ck 1

Изоморфизм циклических групп:

Каждая циклическая группа изоморфна алгебре сложения классов вычетов по модулю k

(k – число элементов в группе)

c Bc A A, ~ k, +

k	~ k, +
Zk ,	~ k, +	Zk={0,1,…,k–1}

Продолжение примера с латинскими квадратами

3		0	1	2	3
3		0	1	2	3
	0	0	1	2	3
1		1	2	3	0
2		2	3	0	1
3		3	0	1	2

2 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 0 3 2

2 2 3 1 0

3 3 2 0 1

[0]

[1]

[2]

[3]

Ассоциативная

[0]

[1]

[2]

[3]

[1]

[2]

[3]

[0]

A, 3

Группа.

[2]

[3]

[0]

[1]

[3]

[0]

[1]

[2]

A, 3 ~

A, 2

1 2 3

g(1)=2

g(2)=1

g(3)=3

2 1 3

g(0)=0

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дискретка

#
23.05.2015503.3 Кб242op.ppt
#
23.05.2015720.38 Кб32algebra.ppt
#
23.05.2015692.22 Кб36base.ppt
#
23.05.20152.87 Mб26Ex.doc
#
23.05.2015140.29 Кб24gr.ppt
#
23.05.20152.79 Mб101LectDM.doc
#
23.05.20151.19 Mб24minspan.ppt

B {x \| k x 1k } {1, 2, 3, 0} A B		{x \| k x 3k }
1	3
B	{x \| k x 2k } {2, 0} A	B {x \| k x 0k } {0}
2		0