Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дискретка / 2op.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

23.05.2015

Размер:

503.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Единственность представления элементов

ai xi 0 i ai 0

ai xi

bi xi i ai bi

i 1

ai xi bi xi (ai bi ) xi

0 i ai

bi 0

i 1

y A !(a1, a2 ,..., am ) Bm

y ai xi

i 1

При фиксированном X (x1, x2 , , xm )

A (a1, a2 ,..., am ) Bm

y g(A) ai xi

i 1

g – взаимно-однозначное соответствие между Bm и A

Подполе элементов, кратных 1: B1, ,

p - Характеристика поля

Простое число

Конечное поле по числу элементов может быть только натуральной степенью простого числа

Каждое конечное поле определяется двумя числами:

ХАРАКТЕРИСТИКА	p Простое число
РАЗМЕРНОСТЬ	m

Конечное поле является векторным пространством по отношению к любому своему подполю, в частности, к подполю элементов, кратных 1

	Пример: поле из четырех элементов	4 22 p 2 & m 2
A {0, 1, 2, 3}, B {0, 1}: p 2		B, ,	A* ,

1 1 0, 2 2 0, 3 3 0


		0	1	2	3		0	1		2	3
		0	1	2	3		0	1		2	3

	0	0	1	2	3	0	0	0		0	0
	0	0	1	2	3	0	0	0		0	0

1		1	0	3	2	1	0	1		2	3


2		2	3	0	1	2	0		3		1
								2





3		3	2	1	0	3	0		1		2

								3

a1		a2	(a1 1) (a2 2)
a1		a2	(a1 1) (a2 2)
	0	0	0
0		1	2
1		0	1
1		1	3

x1 0 : x1 1 A1		{a1 x1 \| a1 B} {0, 1} A

x2 A \{0, 1}: x2	2		Базис: x1=1, x2=2

A2 {(a1 x1 ) (a2	x2 ) \| a1 B & a2 B} {0, 1, 2, 3} A

Векторное представление: 0: (0,0), 1: (1,0), 2: (0,1), 3: (1,1)

Произвольность выбора базиса

	0	1	2	3		0	1	2	3





0	0	1	2	3	0	0	0	0	0






1	1	0	3	2	1	0	1	2	3




2	2	3	0	1	2	0		3	1

							2







3	3	2	1	0	3	0		1	2
							3

a1		a2	(a1 2) (a2 3)
a1		a2	(a1 2) (a2 3)
	0	0	0
0		1	3
1		0	2
1		1	1

x1 0 :	x1 2 A1 {a1 x1		\| a1 B} {0, 2} A

x2 A \{0, 2}: x2		3			Базис: x1=2, x2=3
x2 A \{0, 2}: x2		3
A2 {(a1 x1 ) (a2		x2 ) \| a1 B & a2 B} {0, 1, 2, 3} A
Векторное представление: 0: (0,0), 1: (1,1), 2: (1,0), 3: (0,1)

Покоординатное		m	m	m
сложение		ai xi bi xi (ai bi ) xi
векторов		i 1	i 1	i 1

1+2=3:1+2: (1,1)+(1,0)=(1+1,1+0)=(0,1): 3

В векторном представлении удобно выполнять +

Как выполнять (реализовывать) · ?

Полубесконечные последовательности с элементами из поля A,+,· и их представление формальными многочленами переменной X.

A, ,	Конечное поле
(a1, a2 ,..., am )	i ai A		Конечная последовательность
(a0 , a1, a2..., am ,...) i ai A			Полубеснечная последовательность
Обозначим		(a0 , a1, a2 ..., am ,...) i ai A
(взаимно-однозначно

сопоставим)			ai X i

Многочлен от формальной переменной X

Пример: поле из двух элементов

(1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,…)

1X0+1X1+1X2+1X4+1X6

Будем записывать только те элементы ряда, в которых коэффициенты ai не равны 0. Последовательности полубесконечные,

но, если начиная с некоторого номера позиции они содержат только значения 0, их можно представить конечной формулой

Будет удобнее, если опускать X0 и 1 перед X и в показателе

1+X+X2+X4+X6

Многочлен, соответсвующий последовательности из одних символов 0. обозначим 0.

Два многочлена называют равными,

если коэффициенты при одинаковых степенях формального символа X совпадают.

Множество всех возможных многочленов над A,+,· обозначают FA[X].

Примеры умножений многочленов для двоичного поля
A, ,							0	1						0	1
							0	1						0	1

					0		0	1			0			0	0
A {0, 1}					0		0	1			0			0	0
A {0, 1}					1		1	0			1			0	1
					1		1	0			1			0	1
(1 X 2 X 3 ) (X X 3 ) X X 4 X 5 X 6
Разместим разряды
последовательности справа налево																		Умножение на Xk
(1	X	2	X		3	)		( X X			3	)						Умножение на Xk
(1	X		X			)		( X X				)					сдвиг на k разрядов влево
3	2		1	0				3	2	1			0
1	1		0	1				1	0	1			0						6	5		4	3	2	1	0
1	1		0	1				1	0	1			0


																(1 X 2 X 3 )( X )			0 0 1 1					0 1 0

															(1 X 2 X 3 )( X 3 )				1 1 0 1					0 0 0
																			1	1		1	0	0	1	0
																					X X 4		X 5		X 6

Деление с остатком

(X 7 X 4 X 3 1)						(X 4 X 3 X 2 X 1)(X 3			X 2 1) (X )
7	6	5	4	3	2	1	0		(X 3 X 2 1)
1	0	0	1	1	0	0	1		3	2	1	0
1	1	0	1	0	0	0	0	4	1 1 0 1
0	1	0	0	1	0	0	1
	1	1	0	1	0	0	0	3

	0	1	0	0	0	0	1
		1	1	0	1	0	0	2

		0	1	0	1	0	1
			1	1	0	1	0	1

			0	1	1	1	1
				1	1	0	1	0

				0	0	1	0	Остаток