Алгебры с двумя операциями
Группа: 1 операция – 1 уравнение – 1 решение
a x=b x=a 1 b y a=b y=b a 1
Системы уравнений: несколько неизвестных – несколько уравнений
Вектор неизвестных: X=(x1, x2,… xn) |
X An |
|
f1(X)=b1 |
|
|
f2(X)=b2 |
Система уравнений |
|
…
fm(X)=bm
Матричные системы: две операции
M·X┬=B
M11·x1+M12· x2+…+M1n· xn = b1
M21·x1+M22· x2+…+M2n· xn = b2
…
Mm1·x1+Mm2· x2+…+Mmn· xn = bm
+и · — две операции на A
A, +, · — алгебра с двумя бинарными операциями
Пример: матричное кодирование
y f (x) x M
k |
|
y j xi & Mij , |
j 1 n |
i 1 |
|
y j (x1 & M1 j ) (x2 & M 2 j ) (xk & M kj )
|
|
0 |
1 |
& |
|
0 |
1 |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|||
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|||
V , , &
V {0, 1}
Способ задания – две таблицы Кэли
A, , |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
||||
A {0, 1} |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
Изоморфизм |
A, , |
~ |
V , , & |
|
|
||||||||
Разделение на две
алгебры |
A, , |
|
0 1
0 0 1 |
A, |
A, |
1 1 0
0 1
0 0 0
1 0 1
Ограничения: требование разрешимости систем уравнений
A, ,
A, 
Коммутативная
группа |
(a b) c a (b c) |
|
a b b a
0 – нейтральный элемент +
x A 0 x x 0 x
Обращение по + |
y x x y 0 |
x A y A |
Обозначение унарной операции обращения
x : |
x x x x 0 |
|
|
|
|
Вспомогательная |
a b a b |
|
бинарная операция |
||
A,
(a b) c a (b c)
Связь между операциями
a (b c) (a b) (a c) (a b) c (a c) (b c)
? |
Обратимость в |
A, |
|
A, группаКоммутативная |
& |
a (b c) (a b) (a c) |
|
(a b) c (a c) (b c) |
|||
|
|
Кольцо |
A, , |
(a b) c a (b c) Общие ограничения
a b b a
Коммутативное кольцо
A, ,
|
1 A x A 1 x x 1 x |
Кольцо с единицей |
A, , |
|
|
|
|
|
|
Коммутативное кольцо с единицей: |
a b b a |
|
|
|
|
|
1 A x A 1 x x 1 x |
||
|
|
|
|
|
? |
A, (Коммутативная) группа? |
Сократим слева по +
(a a) 0 a a a (a 0) (a a) (a 0)
|
|
|
|
|
0 a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a A |
0 a 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
1 x A y A |
x y |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
x 0 y 0 |
|
x y |
|
|
|
|||
|
|
0 не сократим по · |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
|
A, Не группа !!! |
|
Наилучшая возможность по обратимости по · для A 1
|
A |
|
1 |
A* A \{0}, |
A* |
||
|
|
||||||
Возможность по обратимости по · для |
A* |
||||||
x A* y A* |
y x 1 |
|
x A* x 0 |
||||
A* , Группа? Алгебра?
Требуется замкнутость A* по · :
x 0 & y 0 x·y 0
Коммутативное кольцо с 1
x 0 & y 0 x·y 0 - область целостности
Алгебраическое поле
Область целостности, где все ненулевые элементы обратимы по ·
|
|
A, |
группаКоммутативная |
& |
a (b c) (a b) (a c) |
||||||||
|
|
(a b) c (a c) (b c) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(a b) c a (b c) |
|
|
|
|
|
(a b) c a (b c) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a b b a |
|
|
|
|
|
|
a b b a |
|||||
x A |
0 x x 0 x |
|
|
|
|
|
x A |
1 x x 1 x |
|||||
x A ! y A y x x y 0 |
|
|
|
* |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
x : x x x x 0 |
|
|
|
|
|
|
A |
A \{0} |
|||||
|
|
x A* y A* |
x y A* |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A , |
группа |
|
|
* |
* |
y x x y 1 |
|||||
|
|
|
x A |
! y A |
|||||||||
* |
— Коммутативная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Обращение в A* , |
x 1 : x 1 x x x 1 1 |
|||||||||
Минимальный пример
A* 1 0
A, , |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|||
|
|
|||||||||||
A {0, 1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|||||
A* {1} |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
||||
|
0 0 |
|
x |
|
x 0 1 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 1 |
|
1 1 1 |
||||||||
Две операции – два вида степеней: по + и по ·
Степень элемента – степень по ·
x1 x |
|
|
|
|
|
|
xk x x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xk 1 xk x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кратный элемента – степень по + |
|
|
|
|
|
|||||||
(1) x x |
|
|
|
|
|
|
(k) x x x x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
(k 1) x (k x) x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
k раз |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Циклические степенные ряды в конечном поле |
|
|
|
|
|
|||||||
Bx {y | k y (k) x} |
|
Cx {y | k y xk } |
||||||||||
|
||||||||||||
Порядок элемента по + |
|
Bx |
|
|
|
|
Порядок элемента по · |
|
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конечное поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, , Конечная область целостности – поле. |
|
|
A |
|
n |
|
A |
|
n 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замкнутость ненулевых элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a A a 0 |
|
|
В конечной области |
|
|||||||||||||
|
a b 0 (a 0 b 0) |
|
|
целостности ненулевые |
|
|||||||||||||
|
|
|
элементы обратимы по · |
|
||||||||||||||
|
(a b 0 & a 0) b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x A* |
|
x 1 Cx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В любом кольце |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конечная |
|
|
|||||||
|
(a y) a ( y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
область |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(a ( y)) (a y) a ( y y) a 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
целостности |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– поле. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В области целостности ненулевые элементы сократимы по ·
a x a y (a x) (a y) 0
(a x) (a ( y)) 0 a (x y) 0
x y 0 x y