Дискретка / Вопросы

Высказывания, предикаты, двоичные функции. Множества, теоретико-множественные операции и отношения между множествами. Взаимосвязь между логикой высказываний, алгеброй логики и теорией множеств.

Общезначимость логических формул и доказательства свойств теоретико-множественных операций. Таблицы истинности и диаграммы Венна. Методики доказательств.

Бинарные предикаты. Бинарные отношения. Прямые произведения множеств. Формы представления и задания бинарных отношений.

Бинарные отношения и функции. Типы функциональных отношений. Взаимнооднозначные соответствия. Эквивалентность (равномощность) множеств.

Специальные виды операций над бинарными отношениями. Обращение и композиции. Использование матриц бинарных отношений для вычисления композиции бинарных отношений.

Степень бинарного отношения. Отношение достижимости. Особенности последовательности степеней бинарного отношения на конечном множестве.

Ряд натуральных чисел. Рекуррентные формулы и функция следования. Принцип индукции. Примеры доказательств в формальной арифметике.

Специальные виды бинарных отношений. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Разбиения.

Примеры отношений эквивалентности: эквивалентность (равномощность) множеств. Мощность множества. Счётные и несчётные множества.

Примеры отношений эквивалентности: отношение подобия для бинарных отношений.

Пример отношений эквивалентности: отношение сравнения чисел по модулю n. Конгруэнции. Классы вычетов по модулю n.

Отношения порядка. Сравнимость. Линейный и частичный порядок. Отрезки. Диаграммы Хассе. Примеры.

Виды графов. Определение простого графа. Способы задания простых графов. Отношения и матрицы смежности и инцидентности. Степень вершин простого графа и её свойства.

Маршруты и циклы в простом графе. Определения. Отношения связности и компоненты связности.

Размеченные графы. Вес рёбер и вес маршрута. Требования. Задача поиска кратчайшего маршрута. Алгоритм Флойда-Уоршалла.

Планарные графы. Грани. Формула Эйлера. Полный граф. Двудольный граф. Полный двудольный граф. Необходимые и достаточные условия планарности.

Бинарные алгебры с одной операцией: Отношение изоморфизма для бинарных алгебр. Примеры.

Бинарные алгебры с одной операцией: специальные свойства операций и специальные элементы.

Моноиды. Степени элементов. Обратимость и сократимость. Особенности конечных моноидов.

Алгебраические группы. Определение и свойства. Конечные группы и циклические подгруппы степеней элементов.

Циклические группы. Изоморфизм циклических групп и сложения классов вычетов по модулю n.

Группы и подгруппы, смежные классы и разбиения на смежные классы по подгруппе. Теорема о соотношении числа элементов группы и подгруппы и её следствия.

Разбиение на смежные классы по подгруппе и отношение эквивалентности между элементами групп. Критерий эквивалентности элементов.

Двоичные групповые коды: постановка задачи повышения достоверности при передаче дискретной информации по ненадёжному каналу. Блоковое кодирование.

Двоичные групповые коды: матричное кодирование, групповые свойства и таблица стандартной расстановки. Исправление ошибок.

Двоичные групповые коды: проверочная матрица и синдромное декодирование.

Алгебры с двумя бинарными операциями: классификация, кольца, области целостности и поля, свойства элементов.

Конечные области целостности и поля. Поля простого порядка. Пример: кольцо классов вычетов по модулю простого числа.

Конечные поля: элементы, кратные единице. Характеристика поля.

Конечные поля: векторное представление элементов поля. Характеристика и размерность.

Конечные поля: кольцо многочленов с коэффициентами из поля. Операции над многочленами. Алгоритм деления с остатком.

Конечные поля: построение путём разложения на классы вычетов по модулю неприводимого многочлена. Пример.