Вариант определения простого графа

Простой граф – упорядоченная пара V, Е , где V – множество вершин, Е (V) – множество двухэлементных подмножеств V – множество рёбер (семейство двухэлементных множеств).

Граф (упорядоченная пара) обозначается обычно как G(V, E):

G(V, E) Е (V) & e E |e|=2

Здесь (V) – множество всех подмножеств V, (V) = {X | X V}.

|e|=2 означает, что каждое ребро равномощно двухэлементному множеству. Можно также записать e~ , ={0, 1}.

Множество вершин обычно обозначают буквой V – от английского термина для вершины – “vertex”. Множество ребер обычно обозначают буквой E – от английского термина для ребра – “edge”.

Пример простого графа.

V = {a, b, c, d, e}

E = {{a, b}, {a, e}, {b, e}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}

Диаграммы Узлы – вершины. Линии между узлами – ребра.

Отношение смежности на множестве вершин простого графа

G(V, E) V V

(x, y) G(V, E) {x, y} E

Две вершины называют смежными, если существует соединяющее их ребро.

V = {a, b, c, d, e}

E = {{a, b}, {a, e}, {b, e}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}

G(V, E) ={(a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c), (c, d),

(b, a), (e, a), (e, b), (d, b), (c, b), (d, c)}

Матрица смежности

A=C

V занумеровано как V={v1, v2,…, vn}

Aij=Aji=({vi, vj} E).

( A от английского названия “adjacency matrix” )

V = {a, b, c, d, e}

E = {{a, b}, {a, e}, {b, e}, {b, d}, {b, c}, {c, d}} v1=a, v2=b, v3=c, v4=d, v5=e.

Множества смежных вершин

G(V, E)(x)={y | {x, y} E}

G(V, E)(x) V G(V, E)(x)=[x] G(V, E)

[x] G(V, E) = {y | (x, y) G(V, E)} = {y | (y, x) G(V, E)}).

V = {a, b, c, d, e}

E = {{a, b}, {a, e}, {b, e}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}

G(V, E) ={(a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c), (c, d),

(b, a), (e, a), (e, b), (d, b), (c, b), (d, c)}

(a)={b, e}, (b)={a, c, d, e}, (c)={b, d}, (c)={b, d}, (d)={b, c}, (e)={a, b}.

Отношение инцидентности

G(V, E) = {(x, y) | x V & y E & x y}

G(V, E) V E

это бинарное отношение между множеством вершин V и множеством рёбер E.

Выражение (x, y) G(V, E) читается «вершина x инцидентна ребру y».

Можно сказать и наоборот, «ребро y инцидентно вершине x».

Эта фраза представляет обратное для G(V, E) отношение между рёбрами и вершинами .

={(a, {a, b}), (a, {a, e}), (b, {a, b}), (b, {b, c}), (b, {b, d}), (b, {b, e}), (c, {b, c}), (c, {c, d}), (d, {b, d}), (d, {c, d}), (e, {a, e}), (e, {b, e})}

Матрица инцидентности

Матрица инцидентности I графа G(V, E) это матрица бинарного отношения инцидентности

I=C G(V, E).

Для данного способа задания графа, в дополнение к нумерации вершин (|V|! способов), необходимо ввести также нумерацию рёбер (|E|! способов).

Элемент матрицы инцидентности в строке i и в столбце j равен 1, если вершина vi инцидентна ребру ej (ребро ej соединяет вершину vi с какой-либо еще вершиной),

иначе этот элемент равен 0.

V = {a, b, c, d, e} и E = {{a, b}, {a, e}, {b, e}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}

v1=a, v2=b, v3=c, v4=d, v5=e

Зададим нумерацию рёбер e1={a, b}, e2={a, e}, e3={b, e}, e4={b, d}, e5={b, c}, e6={c, d}.

V = {a, b, c, d, e} и E = {{a, b}, {a, e}, {b, e}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}

v1=a, v2=b, v3=c, v4=d, v5=e

e1={a, b}, e2={a, e}, e3={b, e}, e4={b, d}, e5={b, c}, e6={c, d}.

={(a, {a, b}), (a, {a, e}), (b, {a, b}), (b, {b, c}), (b, {b, d}), (b, {b, e}), (c, {b, c}), (c, {c, d}), (d, {b, d}), (d, {c, d}), (e, {a, e}), (e, {b, e})}

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 3)}.

Здесь парой (i, j) обозначено наличие пары (vi, ej) в отношении инцидентности.

Это в точности те индексы матрицы инцидентности, для которых элементы матрицы равны 1.

Итог по основным способам задания простого графа.

1.Множество вершин и рёбер в виде списка неупорядоченных пар (двухэлементных множеств).

2.Множество вершин и семейство множеств смежных вершин для каждой вершины.

3.Нумерованное множество вершин и матрица смежности.

4.Нумерованное множество вершин, матрица инцидентности и нумерация рёбер.

5.Множество вершин и семейство множеств инцидентных рёбер для каждой вершины.

Степень вершины (характеристика)

Так как в простом графе каждое ребро соединяет некоторую вершину со смежными (но не равными ей) вершинами, множества IG(V, E)(x) и G(V, E)(x) должны быть равномощными:

x V |IG(V, E)(x)| = | G(V, E)(x)|

Количество рёбер, инцидентных некоторой вершине v, называют степенью вершины

и обозначают deg(v) (обозначение происходит от английского термина “degree”, его часто сокращают до обозначения d(v)).

deg(v) = |I(v)|

В простом графе степень вершины также равна числу смежных с ней вершин:

deg(v) = |I(v)| = | (v)|.