Маршрут

mдлина маршрута

Веса ребер w RE

Вес маршрута – сумма весов ребер

m

w({si 1, si })

i 1

Упорядоченность значений весов ребер

Требование в задачах поиска маршрута минимального веса

Для значений определена

коммутативная и ассоциативная операция суммирования

Матрица весов рёбер W

Множество вершин занумеровано: V={v1, v2, …, vn}.

Форма представления результата

Пара матриц (L, P):

Матрица минимальных весов маршрутов L организована аналогично матрице весов рёбер: её элементы Lij представляют

собой минимальный вес маршрута из вершины vi в вершину vj.

Матрица маршрутов P. Вместо того, чтобы представить результат списком маршрутов, используем для них представление, основанное на следующем принципе: если s0s1s3…sk – маршрут минимального веса из k рёбер из вершины

s0=vi в вершину sk=vj, то s1s2…sk – маршрут минимального веса из k 1 рёбер из вершины s1 в вершину sk.

Извлечение маршрута из матрицы P

s0=vi, k1=Pij, s1=vk1, k2=Pk1j, s2=vk2, k3=Pk2j, s3=vk3 … sm=vkm=vj

Построение маршрута s0s1…sm заканчивается, когда

на очередном шаге извлечения маршрута из матрицы P в столбце j встречается сам номер j конечной вершины.

Если вершины не связаны, уже на первом шаге будет обнаружено Pij=0.

Алгоритм Уоршалла

Начальные условия

Шаги алгоритма

Последовательность промежуточных результатов:

(L0, P0) → (L1, P1) → (L2, P2) →… → (Lk-1, Pk-1) → (Lk, Pk) → … (Ln, Pn)

Частичное решение: (Lk, Pk)

Условие:

(Lk, Pk) – множество маршрутов минимального веса при условии, что промежуточными вершинами могут быть только вершины с номерами от 1 до k.

(L0, P0) – без промежуточных вершин: только одношаговые маршруты.

(L1, P1) – одношаговые или только через вершину № 1.

(L2, P2) – одношаговые или только через вершины №№ 1 и/или 2.

…

(Ln, Pn) – искомое решение.

Шаг № k алгоритма: (Lk-1, Pk-1) → (Lk, Pk)

Как можно улучшить частичное решение, если в дополнение к вершинам 1,2,…k-1 допустить вершину k в качестве промежуточной?