Задачи по теме «формы представления бинарных отношений»

На множестве A = {a, b, c, d, e} списками пар заданы следующие бинарные отношения:

 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e, d), (c, a)};

 = {(a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (e, e), (d, e), (c, b)};

 = {(a, b), (a, a), (b, c), (b, b), (e, e), (b, a), (c, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a)};

 = {(a, b), (b, c), (b, b), (e, e), (b, a), (c, b), (d, d), (a, c), (c, a)}.

Вычислите и представьте списком пар и графически следующие отношения:

 (пересечение),  (объединение), \ (разность), ∸ (симметрическая разность).

Для множества чисел A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} бинарное отношение делимости определяется как  = {(x, y) | xA & yA & zA y=z·x}. Например, (2, 6), так как 6=2·3. Представте это отношение во всех рассмотренных ранее формах:

- списком пар;

- матрицей (указав нумерацию элементов A);

- графически.

На этом же множестве бинарное отношение меньше определяется как  = {(x, y) | xA & yA & x<y}. Представьте отношение в виде матрицы при той же нумерации элементов A и вычислите в матричной форме:

.

На множестве A = {a, b, c, d, e} списками пар заданы следующие бинарные отношения:

 = {(a, a), (a, b), (b, c), (b, d), (c, e), (e, d), (c, a)};

 = {(a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (e, e), (d, e), (c, b)};

 = {(a, b), (a, a), (b, c), (b, b), (e, e), (b, a), (c, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a)};

 = {(a, b), (b, c), (b, b), (e, e), (b, a), (c, b), (d, d), (a, c), (c, a)}.

Представьте эти отношения графически и определите, какими из рассмотренных специальных свойств (рефлексивность, симметричность, анитисимметричность, транзитивность) какое отношение обладает.

На множестве A = {a, b, c, d, e} бинарные отношения  задано графически следующей диаграммой:

Представьте это отношение списком пар и в виде матрицы, выбрав нумерацию элементов A.

На множестве A = {a, b, c, d, e} бинарные отношения  и  задано графически следующими диаграммами:

Графически постройте диаграммы для следующих отношений:

^–1, , , , , ^–1, ^–1, ()^–1, (^–1).

Между множествами A = {a, b, c, d} и B = {1, 2, 3, 4} списками пар заданы следующие бинарные отношения:

f={(a, 1), (b, 3), (a, 4), (c, 4)}

g={(a, 3), (b, 1), (c, 4), (d, 2)}

h={(a, 3), (b, 1), (d, 4)}

s={(a, 3), (b, 3), (c, 1), (d, 4)}

w={(a, 3), (b, 2), (c, 1), (b, 4)}

Изобразите их диаграммами и определите, какие из них являются функциями из A в B или функциями из B в A. Для найденных функций определите, какими из изученных классификационных признаков (сюръективность и инъективность) они обладают.

Используя определения операции  (композиция), докажите следующие свойства для произвольных бинарных отношений , , :

()()();

( )()();

()=()();

()()().

Используя определения функциональности, композиции и обращения, докажите следующие свойства для функций между указанными произвольными множествами:

;

& f – инъективная & g – инъективная  f g – инъективная.

Бинарное отношение  на множестве A = {1, 2, 3, 4, 5} задано графичечски следующей диаграммой:

Изобразите диаграммы для всех различных значений его натуральных степеней по операции композиции  и его отношения достижимости .

Бинарное отношение  на множестве A = {1, 2, 3, 4, 5} задано графически следующей диаграммой:

Выберите нумерацию элементов A и постройте матрицу этого отношения. Используя матричную форму записи, вычислите все различные элементы степенного ряда .

Используя принцип индукции, докажите следующие свойства для степеней бинарных отношений по композиции:

;

.

Используя ранее доказанные равенства ()=()(), ()()() и принцип индукции докажите следующее свойство:

.

Используя принцип индукции, докажите следующее свойство:

.

Указание: если в процессе вывода вам понадобится свойство

,

то его нужно доказать, используя определение композиции .