Дискретка / Расчетное задание

Расчетное задание

Синдромный декодер для двоичных групповых кодов и его характеристики.

Цель работы

Получение вероятностных характеристик двоичного группового кода, заданного порождающей матрицей при выбранном варианте реализации синдромного декодера с обнаружением и исправлением ошибок.

Характеристиками являются:

-вероятность правильного приема (отсутствия искажений)

-вероятность неправильного приема (искажения), разделяемая на вероятность неправильного приема при попытке исправить обнаруженную ошибку и на вероятность необнаруженной ошибки

-вероятность потери сообщения из-за неисправимой ошибки

Характеристики должны быть получены как зависимости соответствующих вероятностей от вероятности искажения одного двоичного разряда в канале в виде формул и в виде графиков этих зависимостей для указанного диапазона значений этой вероятности. Графики желательно представить в логарифмическом масштабе, так как диапазоны изменений вероятностей могут включать несколько десятичных порядков.

Основные обозначения, определения и зависимости

Двоичный групповой код, отображающий k-разрядные информационные векторы в n-разрядные кодовые слова, задается своей порождающей матрицей M размером k строк на n столбцов так, чтобы выполнялось условие

y=f(x)=y M

Для систематических кодов, когда информационные символы без изменений присутствуют в кодовом векторе на первых k позициях (yi=xi, i≤ k) матрица M разделяется на блоки из единичной квадратной матрицы слева (блок Ek) и матрицы для вычисления проверочных символов (блок G размером k строк и n-k столбцов):

Блок G может содержать любые двоичные символы, код в любом случае за счет единичного блока в начале будет систематическим двоичным групповым кодом и различным x будут соответствовать разные y.

Для построения синдромного декодера необходимо составить проверочную матрицу H размером n строк и n-k столбцов, содержащую блок G и единичный блок под ним:

Тогда вычисление вектора синдрома s заключается в "умножении" принятого вектора ỹ из n компонент на эту матрицу

Вектор синдрома обладает следующими свойствами:

-он равен 0 тогда и только тогда, когда принятый вектор является допустимым кодовым словом

-два вектора принадлежат одному смежному классу по подгруппе допустимых кодовых векторов тогда и только тогда, когда их синдромы

При этом для систематического кода необходимо хранить в таблице только первые k компонент вектора оценки ошибки.

Решение об отказе от исправления принимается исходя из оценки вероятности искажения информации, если в системе допускается отказ от приема. Предлагается следующий вариант принятия решения:

Если в смежном классе принятого вектора имеется единственное слово наименьшего веса (вес - число единичных разрядов), то это слово (лидер класса) принимается в качестве оценки ошибки и происходит ее исправление. Иначе фиксируется обнаруженная неисправимая ошибка и происходит отказ от исправления.

Возможны и другие варианты. При желании можно сравнить характеристики декодера при различных вариантах принятия решения.

Получение характеристик декодера

Так как перебор всех векторов ỹ покрывает все смежные классы, возможно получение распределения весов векторов классов по следующему алгоритму: 1. Строится таблица числа векторов каждого веса в каждом классе (в ней 2n-k

строк и n+1 столбец). Изначально она содержит все 0.

2.Подготавливается массив для хранения лидеров классов (2n-k слов по n разрядов) и массив для хранения минимального веса слов классов (2n-k целых чисел).

3.Перебираются все возможные значения вектора ỹ (их 2n).~

4.Для каждого вектора ỹ вычисляется вектор синдрома s y H и вес

yi = 1

5.Элемент таблицы весов на строке s и столбце w(ỹ) увеличивается на 1.

6.Если вес вектора меньше текущего минимального веса в классе, то происходит обновление минимального веса класса и значения лидера.

Следующий псевдокод иллюстрирует эту процедуру

for s:=0 to 2n-k-1 do begin minw[s]:=n+1;

for wy:=0 to n do wt[s,wy]:=0;

end;

for y:=0 to 2n-1 do begin s:=y·H; wy:=w(y); Inc(wt[s,wy]);

if wy<minw[s] then begin minw[s]:=wy; Leader[s]:=y;

end;

end;

По окончании этой процедуры в таблице отыскиваются строки, у которых в самом меньшем по номеру (весу) столбце с ненулевым значением это значение равно 1. В этом случае соответствующий класс имеет лидера.

Теперь следует подсчитать вероятности различных исходов.

Вероятность появления комбинации ошибок определяется числом разрядов с искажениями:

P{e}=pw(e)(1-p)n-w(e)

Вероятность того, что комбинация ошибок попадет в некоторое множество, равна сумме вероятностей для всех комбинаций множества.

где N(Q,w) - число слов веса w в множестве Q.

Поэтому чтобы вычислить вероятность различных исходов необходимо определить, какие исходы возможны в работе декодера на каких множествах конфигураций ошибок.

К не обнаружимым ошибкам приводят только ненулевые допустимые слова. Правильно исправляются только ошибки, совпадающие с лидерами классов. Классам, не имеющих лидеров, соответствуют не исправляемые ошибки.

Остальные слова образуют множество комбинаций, приводящих к неверно исправляемым ошибкам.

Так как все вместе эти области образуют полное множество возможных исходов, достаточно найти вероятности попадания комбинации ошибок в каждую область кроме какой-либо одной. Последнюю вероятность можно найти как дополнение до 1 суммы остальных вероятностей если при этом не возникнет ошибок округления. Во всяком случае следует проверить, что сумма всех найденных вероятностей равна 1.

Программа работы

Индивидуальное задание

Следует получить характеристики кода с 5 информационными символами и 4 проверочными символами (всего 9 двоичных разрядов в кодовом векторе).

k=5 n=9

Код систематический. Задается только блок G матрицы M.

При этом строки блока G не должны содержать наборов из всех 0 и не должны совпадать со строками единичной матрицы 4x4. Также все строки должны быть различны. Это гарантирует, что

-среди допустимых кодовых слов нет слова веса 1

-все слова веса 1 являются лидерами различных классов (таких классов 9) (Объясните, почему).

Таким образом, из 16 видов строк блока G остается 11:

1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 1110, 1101, 1011, 0111, 1111.

Так как в блоке 5 строк и все должны быть разными, существует C115 5!

вариантов (некоторые из них дают эквивалентные коды по множеству допустимых слов).

Необходимо найти

-Число векторов всех возможных весов в каждом из классов (таблицу 16 строк по 10 столбцов, столбцы нумеровать от 0 до 9, строки двоичными значениями синдромов).

-Вид лидеров классов в виде двоичной строки для тех классов, где лидер есть (возможно, в виде дополнительного столбца к таблице весов).

-Формулы зависимостей вероятности различных исходов декодирования от вероятности искажения одного двоичного разряда при передаче кодового вектора по каналу.

Необходимо построить

-Схему устройства кодирования и схему вычисления синдрома в виде рисунка или формул для отдельных двоичных разрядов с использованием только бинарных элементов "ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ"

-Таблицу для выдачи воздействия на схему исправления ошибок и выдачи сигнала отказа от декодирования (16 строк по 6 двоичных разрядов: 5 разрядов для схемы исправления ошибок и один разряд для сигнала отказа).

-Графики зависимостей вероятностей различных исходов декодирования от

вероятности искажения одного двоичного разряда при передаче кодового вектора по каналу при значениях аргумента p=10-3, 2·10-3, 5·10-3, 10-2, 2·10-2, 5·10-2, 10-1.