Композиция бинарных отношений

определяется как

o = { (x, y) | z (x, z) & (z, y) }

Композиция бинарных отношений: интерпретация для ориентированных графов

A А

A={a, b, c, d}

=

(b, c) & (c, b) (b, b)

= =

( ) = ( )

Композиция – ассоциативная операция:

p (q r) = (p q) r

(A = B) (x A x B)

(x, y) p (q r) (x, y) (p q) r

Левая часть (x, y) p (q r) (x, y) (p q) r По определению :

(x, y) p (q r) z ((x, z) p & (z, y) (q r))

Еще раз применяем определение для раскрытия условия (z, y) (q r):z ((x, z) p & (z, y) (q r)) z ((x, z) p & t ((z, t) q & (t, y) r))

Правая часть:

(x, y) (p q) r u ((x, z) (p q) & (z, y) r)

u ((x, u) (p q) & (u, y) r) u ( v ((x, v) p & (v, u) q) & (u, y) r)

Имеем две формулы, равносильность которых необходимо проверить:

z ( (x, z) p & t ((z, t) q & (t, y) r))

и

u ( v ((x, v) p & (v, u) q) & (u, y) r)

a & ( x P(x)) равносильно x (a& P(x))

По аналогии с a&(b c) = (a&b) (a&c) так как

Имеем две формулы (предваренные):

z t ((x, z) p & (z, t) q & (t, y) r)

и

v u ((x, v) p & (v, u) q & (u, y) r)

Степень бинарного отношения по композиции

В арифметике k степенью числа называют результат k раз выполненного умножения числа на себя:

Аналогично для бинарных отношений k степенью бинарного отношения назовём k раз выполненное вычисление композиции с самим этим отношением:

Ассоциативность: ((( ) ) …) = (… ( ( )))

Рекуррентное определение для степени

1=k+1= k

Алгоритм вычисления степени

1 =2 = 1 =

3 = 2 = ( )4 = 3 = (( ) )

…

Ряд степеней и функция следования

B ={x | k x= k

}

x B s (x)=x

1= , 2=s ( )= = , 3= s (s ( ))=( ) = =

4=s (s ( s ( )))=(( ) ) = =

4= 2 5 = 4 = 2 = 3