|
Предметная |
|
|
|
|
|
область |
|
|
P |
Область |
|
a |
|
|
логических |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
значений |
A |
b |
|
P |
|
|
|
|
P |
|
1 – Истинное |
|
|
c |
|
|
||
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
P |
|
0 – Ложное |
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
P |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(a)=1, P(b)=1, P(c)=1, P(d)=0, P(e)=0
Множество A выделено |
Отношение |
|
предикатом P: |
принадлежности |
|
A = { x | P(x) } |
(x A) = P(x) : |
|
(b A) = 1 |
||
|
||
|
(e A) = 0 |
Универсальное множество (вся предметная область) U = { x | 1 }
Пустое множество= { x | 0 }
Комбинирование высказываний
C = { x | P(x) Q(x) }
u |
v |
u v |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
ИЛИ |
|
Правые операнды |
|
|
|
||
|
|
0 |
1 |
Левые |
0 |
0 |
1 |
операн |
|
|
|
ды |
1 |
1 |
1 |
|
|||
0 0=0, 0 1=1, 1 0=1, 1 1=1
Аргумент |
|
Возможные функции |
|
x |
x |
|
x |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Номера возможных функций двух аргументов u и v |
|
|
|
|
|||||||
u v |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
u v |
& |
|
| |
↓ ↔ → ← |
|
|
||||
0 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Теоретико-множественные операции и диаграммы Венна
Дополнение |
A |
{ x | x A} |
|
|
|
P |
Область |
a |
|
|
логических |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
значений |
A |
b |
P |
|
|
|
P |
|
1 – Истинное |
|
c |
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
e |
A |
P |
|
0 – Ложное |
|
|
|
||
|
d |
|
|
значение |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
Отношение логического следования
x |
P(x) |
Q(x) |
P(x) → Q(x) |
a |
1 |
1 |
1 |
b |
1 |
1 |
1 |
c |
0 |
1 |
1 |
d |
0 |
1 |
1 |
e |
0 |
0 |
1 |
|
|
Итог по & |
1 |
x (P(x) → Q(x))
P(a) → Q(a) (1→1=1), P(с) → Q(с) (0→1=1), P(e) → Q(e) (0→0=1)
x (x) & (x)
x U
Общезначимость формулы 1 → 2 1 |
1 2 |
Квантор всеобщности
x (x) & (x)
x U
Квантор существования
x (x) (x)
x U
Отношение включения множеств
A = { x | P(x)
}
B = { x | Q(x)
}
x (P(x) → Q(x))
A B = x (x A → x B) (A B) = (x A x B)
Отношение равенства множеств и равносильность высказываний
(A = B) = x (x A ↔ x B)
(A = B) (x A x B).
Эквивалентность формул логики высказываний
x ((P(x) (Q(x) & R(x))) ↔ ((P(x) Q(x)) & (P(x) R(x)))
(a (b & c)) ↔ ((a b) & (a c))
a b c |
b & c |
a b |
a c |
a (b & c) |
(a b) & (a c) |
Л.Ч. ↔ П.Ч. |
0 0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 0 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 1 0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Итог по & |
1 |
Эквивалентность формул с теоретико-множественными операциями
(a (b & c)) ↔ ((a b) & (a c) a=x A, b=x B, c=x C
A (B C) = (A B) (A C)
x ((x A (x B & x C)) ↔ ((x A x C) & (x A x C)))