Шапкарин Лабораторный практикум по курсу 2007

где коэффициенты перед дробями являются вычетами передаточной функции, вычисленными в соответствующих полюсах. Получаем представление передаточной функции в виде параллельного соединения двух апериодических звеньев, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1

Реакция на ступенчатое входное воздействие системы представляет собой сумму реакций апериодических звеньев, находящихся в параллельных ветвях соединения:

Упрощая последнее выражение, получим

На рис. 3.2 представлены графики переходных процессов в параллельных ветвях и их сумма для случая T1 > T2.

Из рисунка видно, что суммарный график h(t) имеет точку перегиба и представляет собой монотонно возрастающую функцию от нуля до установившегося значения, равного коэффициенту усиления K. Отметим, что в начальный момент времени не только выходной

41

сигнал равен нулю, но и его первая производная по времени также равна нулю, поскольку наклоны касательных в нуле к переходным характеристикам в ветвях параллельного соединения одинаковые по величине и противоположные по знаку. Это соответствует принятому соглашению о нулевых начальных условиях по умолчанию.

Структурная модель в виде последовательного соединения

Для получения логарифмических частотных характеристик удобно использовать метод разбиения передаточной функции на простые множители, что означает представление ее в виде произведения типовых динамических звеньев. Именно в виде произведения двух апериодических звеньев и задана передаточная функция системы в рассматриваемом примере. Таким образом, структурная модель принимает вид последовательного соединения двух апериодических звеньев на рис. 3.3, причем не имеет значения порядок их соединения.

Рис. 3.3

42

Логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики последовательного соединения получают путем суммирования соответственно амплитуд и фаз всех элементов соединения.

Результирующие ЛАФЧХ и годограф передаточной функции для рассматриваемого примера приведены на рис. 3.4, а и б.

ной и входной синусоидами практически отсутствует, а отношение амплитуды выходной синусоиды к амплитуде входной равно коэф-

фициенту усиления K. В области высоких частот ω ≥ 10 синусоиды

T2

43

находятся почти в противофазе, а амплитуда на выходе во много раз меньше амплитуды входного сигнала.

Годограф передаточной функции W ( jω) на рис. 3.4, б также

показывает изменения амплитуды и фазы с ростом частоты от нуля до бесконечности.

Структурная модель системы с обратными связями по переменным состояния

Такой способ представления структурной математической модели известен как метод приведения к канонической форме.

Для системы второго порядка структурная схема показана на рис. 3.5, где координаты вектора состояния x1 и x2 выбраны в качестве выходных сигналов интеграторов.

a

b

Рис. 3.5

Замыкая дважды контуры с обратными связями, находим выражение передаточной функции

W (s) = c . s2 + as +b

Разделив числитель и знаменатель этого выражения на коэффициент b, приведем передаточную функцию к виду колебательного устойчивого динамического звена

W (s) = K , T 2 s2 + 2ξTs +1

44

где коэффициент усиления K = bc , постоянная времени T = 1b , а

безразмерный коэффициент затухания ξ = ab . Корни характери-

стического уравнения колебательного устойчивого звена являются комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью, а это будет лишь в случае 0 <ξ <1.

Аналитическое выражение переходной характеристики колебательного устойчивого звена имеет вид

где действительная часть корня − Tξ определяет затухание колеба-

На рис. 3.6 представлен график этого переходного процесса, на котором показаны установившееся значение hуст, два первых максимальных значения hm1 и hm2, разделенные по времени на период колебания Tк.

Указанные значения будут использованы в работе для идентификации параметров модели колебательного звена.

h

hm1

hm2

hуст

Рис. 3.6

45

46

дится не на этой частоте и не на собственной частоте ω = 1T−ξ2 , а

в третьей точке ω = 1 − 2ξ2 .

T

На рис. 3.8, а и б представлены осциллограммы, которые будем наблюдать при снятии частотных характеристик на частотах

Отрезок времени для наблюдения Tп выбираем из области, где выходная синусоида практически установилась. С помощью такого эксперимента также можно идентифицировать параметры модели колебательного звена по значениям амплитуды входного Aвх и выходного Aвых сигналов.

Моделирование системы второго порядка с заданным расположением корней характеристического уравнения

Структурная схема на рис. 3.5 позволяет реализовать не только колебательное звено, но и передаточные функции второго порядка с любым возможным расположением корней характеристического уравнения. Варианты расположения корней на комплексной плоскости s, представленные на рис. 3.9, можем получить, задавая различные значения по величине и знакам коэффициентов a и b структурной модели. Параметр c входит в состав коэффициента уси-

47

ления передаточной функции и на корни характеристического уравнения не влияет.

Условия, при которых корни располагаются, как показано на рис. 3.9, а также соответствующие выражения передаточных функций приведены в таблице 1.

48

Отметим, что для случая в) получаем третий способ моделирования передаточной функции из двух апериодических звеньев, реализованных вначале с помощью последовательного и параллельного соединения. С точки зрения помехозащищенности и стабильности схема на рис. 3.5 обладает преимуществами по сравнению с двумя предыдущими, поскольку за счет обратных связей в ней происходит

49

компенсация влияния возмущающих воздействий и изменений параметров элементов.

Информация о переходных и частотных характеристиках в двух случаях расположения корней в) и д) представлена в работе, а для остальных вариантов ее предстоит получить самостоятельно.

Анализ свободного движения в системе второго порядка

Для системы второго порядка n-мерное пространство переменных состояния сводится к так называемой фазовой плоскости, где по оси абсцисс откладывается первая координата вектора состояния x1, в качестве которой выбираем выходной сигнал, а по оси ординат вторая координата x2 в виде ее скорости изменения x2 = x1 .

Общее решение уравнений состояния задает на фазовой плоскости фазовую траекторию, параметром вдоль которой является время. Направление движения по фазовой траектории строго определено, поскольку если скорость x2 > 0, то выход x1 может только увеличиваться, и, наоборот, при x2 < 0 x1 уменьшается.

Анализируя устойчивость положения равновесия линейной системы в нуле, следует рассмотреть на фазовой плоскости лишь свободную составляющую движения, отбросив вынужденную составляющую. При моделировании это означает, что входное воздействие на структурную схему отсутствует u = 0, а движение в системе происходит из-за ненулевых начальных условий x10 и x20, заданных на интеграторах.

Для наблюдения с помощью осциллографа фазовых траекторий отключают его развертку, а на входы X и Y подают, соответственно, координаты вектора состояния x1 и x2, как показано на рис. 3.10.

a

b

Рис. 3.10

50