3. Единицы величин
3.1. Системы величин и размерности
Как уже говорилось, полноценные физические величины связаны между собой многими соотношениями и, следовательно, образуют систему. В этой системе некоторые величины принимаются за основные и считаются независимыми; другие, называемые производными, выражаются через основные с помощью определяющих уравнений.
Так, в механике используется система LMT, в которой за основные величины приняты длина L, масса M и время T. Более полной является система величин LMTIΘNJ, соответствующая Международной системе единиц СИ. В ней, наряду с тремя величинами механики L, M, T, основными считаются сила электрического тока I, температура Θ, количество вещества N и сила света J.
Выражение некоторой величины в виде произведения основных величин системы, возведенных в соответствующие степени, называется размерностью этой величины. Для обозначения размерности принят символ dim. Так, сила F, сообщающая телу массы m ускорение a = d2l/dt2 (где l – путь, t –время), выражается как F = ma. Ее размерность составляет dim F = LMT–2. Правильнее было бы включить в это выражение и все остальные основные величины в нулевых степенях, но обычно нулевые степени опускают.
Величина, в выражении для размерности которой все показатели степени равны нулю, называется безразмерной. Безразмерными являются все относительные величины: коэффициент трения, относительная деформация и т. п.
Особые свойства в смысле размерности имеет угол (ограничимся рассмотрением плоского угла). Эти особые свойства в литературе практически не освещены.
Казалось бы, плоский угол, определяемый через отношение длины дуги произвольной окружности к ее радиусу, должен быть безразмерным. И он действительно ведет себя как безразмерная величина в выражениях типа sin α.
Однако встречаются ситуации, в которых удобно считать угол величиной, имеющей собственную размерность, как если бы это была основная величина. В частности, такое представление позволяет отличать друг от друга различные величины, имеющие (без учета угла) одинаковую размерность, – так называемые размерные изотопы.
Размерными изотопами считаются, например, работа силы на некотором пути и момент силы на некотором плече. Обе величины выражаются как Fl. Различить их можно, если считать, что в размерность момента силы входит размерность угла, а в размерность работы силы она не входит (рис. 3.1).
Другой прием, также позволяющий различить размерные изотопы, заключается в том, что “продольной” длине (по типу рис. 3.1,а) и “поперечной” длине (по типу рис. 3.1,б) приписываются различные размерности. В учебном пособии [16] приведен заимствованный из книги Г. Хантли “Анализ размерностей” пример использования этого приема при решении задачи, трудной для обычной теории размерностей.
Как уже говорилось в параграфе 2.8, теория размерностей как частный случай теории адекватных операций накладывает определенные требования на правильно составленные выражения, в которых участвуют значения физических величин. Аддитивные члены (слагаемые) в любом выражении должны иметь одинаковые размерности. Это относится, в частности, к левой и правой частям любого уравнения. Аргументы тригонометрических, логарифмических, показательных и других подобных функций обязаны быть безразмерными. Если какое-либо из этих требований не выполняется, – значит, либо выражение составлено с ошибкой, либо в нем не замечена размерность какого-либо коэффициента, либо оно носит эмпирический характер и справедливо лишь при фиксированных единицах входящих в него величин.
Исследователь должен выработать в себе привычку при выводе (или использовании готовых) формул проверять размерности или, что обычно проще, единицы, в которых выражены отдельные их составляющие.
Простейший пример: существуют микросхемы, называемые преобразователями напряжение – частота. Частота f следования импульсов на их выходе прямо пропорциональна входному напряжению U в соответствии с выражением: f = kU. Ясно, что коэффициент k в этом равенстве обязан быть размерным, и если частоту выражать в герцах, а напряжение – в вольтах, то коэффициент должен получиться в герцах на вольт или, что то же самое, обратных вольтсекундах. Такой проверки обычно достаточно, доведение ее до стандартной формулы размерности только увеличило бы вероятность ошибки.