6.10. Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях (см. параграф 4.2) значение искомой величины z вычисляют по результатам прямых измерений других величин y_i, функционально связанных с искомой. Функциональная зависимость z(y₁, y₂, y₃,…), как правило, задается в виде формулы.

Обычно рекомендуют провести вначале обработку результатов каждого из прямых измерений, затем по полученным оценкам центров распределений величин y_i вычислить оценку искомой величины z и, наконец, по оценкам погрешностей оценок y_i вычислить оценку погрешности окончательного результата, как будет описано ниже.

Но для оценивания случайной составляющей погрешности результата возможен и другой путь [5]: многократно повторить процедуру, состоящую из однократных измерений всех y_i и вычисления z, получить таким образом выборку значений z со статистическим разбросом, и обработать ее стандартным способом. Достоинство этого метода состоит в том, что он не требует знания характеристик составляющих случайной погрешности, – экспериментатор имеет дело сразу с их суммой. Тем не менее, его применяют реже. Поэтому вернемся к задаче вычисления оценки погрешности окончательного результата по оценкам погрешностей непосредственно измеренных величин y_i.

Поскольку погрешности этих величин предстоит суммировать, удобно характеризовать их оценками СКО s_i.

Наиболее простая функциональная зависимость – линейная комбинация z = b₁y₁ + b₂y₂ + b₃y₃ + … Переходя к дифференциалам как аналогам малых погрешностей, получаем dz = b₁dy₁ + b₂dy₂ + b₃dy₃ + … Наконец, по правилам сложения дисперсий, находим квадрат искомой оценки

Немногим сложнее случай, когда искомая величина выражается в виде произведения z = ky₁^α·y₂^β·y₃^γ·… Это произведение сначала логарифмируют и только после этого переходят к дифференциалам, получая

Видно, что, в отличие от предыдущего случая, когда суммировались абсолютные погрешности, здесь суммируются относительные погрешности. Систематические составляющие суммируются со своими знаками с учетом знаков показателей α, β, γ и т.д. (отрицательный показатель соответствует операции деления). Случайные составляющие суммируются по правилу сложения дисперсий:

В общем случае (произвольной функциональной зависимости) оценка дисперсии абсолютной погрешности каждой из непосредственно измеренных величин y_i входит в оценку дисперсии абсолютной погрешности результата z с коэффициентом, равным квадрату частной производной ∂z/∂y_i. Соответствующая формула (в других обозначениях, заимствованных из “Гайда”), а также ее уточненный вариант, позволяющий учитывать статистическую зависимость погрешностей, приведены в параграфе 6.11.

Отметим особенность косвенных измерений, заключающуюся в том, что нельзя для каждого возможного значения z заранее оценить инструментальную погрешность (как это делается при прямых измерениях). Дело в том, что одно и то же значение z может быть получено при различных сочетаниях непосредственно измеряемых величин, а значит, и при различных погрешностях их измерения. Получив окончательный результат и отбросив промежуточные данные, экспериментатор уже не может восстановить исходное сочетание величин y_i.

Эта особенность была не очень заметной, пока результаты косвенных измерений обрабатывались вручную. Но при переходе к автоматизированным экспериментальным установкам и измерительным информационным системам (ИИС) невозможность их метрологической аттестации по образцу простых приборов стала вызывать определенные трудности. Для их преодоления пришлось возложить оценивание погрешностей косвенных измерений на вычислительные средства, входящие в состав самих ИИС. Были разработаны нормативные документы, согласно которым оценки погрешностей косвенных измерений должны вычисляться для каждого получаемого результата параллельно с вычислениями самого этого результата. Для вычисления оценок погрешностей должны быть предусмотрены специальные подпрограммы.