2.7. Типы шкал и допустимые преобразования (метрические шкалы)
Третьими (из пяти основных типов шкал) являются шкалы интерваловилиинтервальные шкалы. Наряду с отношениями эквивалентности и порядка на множестве объектов, они передают еще и отношениеэквивалентности интерваловмежду объектами.
Наиболее типичный класс шкал интервалов – шкалы времени, в которых определяются моменты появления тех или иных событий (иначе говоря, производится датирование событий). Допустимые преобразования для шкал интервалов сводятся к растяжению-сжатию и сдвигу. Преобразования этой группы, которую называют общей линейной группой, выражаются формулой: z' = cz + h, где z и z' – соответственно числа, приписанные какому-либо объекту до и после преобразования; c – параметр масштаба, характеризующий изменение размера единицы, h – параметр сдвига начала отсчета (рис. 2.3,а).
Например, папа Григорий XIII для того, чтобы вернуть дату весеннего равноденствия, изменившуюся из-за неточности юлианского календаря, на прежнее число (21 марта), предписал после четверга 4 октября 1582 года считать пятницу 15 октября 1582 года. Тем самым он ввел h = 10 дней. Поскольку одновременно было изменено число високосных годов в тысячелетии (это с некоторой натяжкой можно считать введением масштабного параметра c ≠ 1), к настоящему времени сдвиг григорианского календаря по отношению к более старому юлианскому возрос до 13 дней.
Такое важное свойство тел, как степень их нагретости, люди оценивали сначала (в древности) в номинальной шкале “холодное – теплое”, причем думали, что тепло и холод – различные свойства, потом пришли к шкале порядка “холоднее – теплее”. Только во второй половине XVII века стали переходить от примитивных термоскопов, основанных на тепловом расширении жидкостей, к термометрам, градуированным по определенным реперным точкам. К концу XVIII века насчитывалось уже около двух десятков различных температурных шкал, различавшихся как масштабом, так и началом отсчета. К настоящему времени распространенными из них остались шкалы Цельсия и Фаренгейта.
Каждая из этих двух шкал фиксируется с помощью двух реперов, как это свойственно интервальным шкалам. В современной шкале Цельсия реперными являются точки таяния льда (0 °C) и точка кипения воды при нормальном давлении (100 °C). В шкале Фаренгейта основными реперами были температура смеси воды, льда и нашатыря (0 °F) и нормальная температура человеческого тела (96 °F). Температура Фаренгейта tF переводится в температуру Цельсия tC по формуле: tC = (tF – 32)·5/9 [5]. Как видно, формула для перехода от одной температурной шкалы к другой соответствует общей линейной группе преобразований, что также типично для шкал интервалов.
Важно, что в интервальных шкалах, в отличие от более слабых шкал классификации и порядка, появляется понятие расстояния между объектами, выражаемого в определенных единицах. Поэтому они относятся к метрическим шкалам в отличие от неметрических номинальных и порядковых шкал. Следует хорошо усвоить, что при использовании, например, шкал упорядоченных классов говорить о протяженности классов вообще нельзя; например, некорректен вопрос: одинаковы ли интервалы знаний студентов, оцениваемые на 4 и на 5?
Признаком метрических шкал является также возможность записи группы допустимых преобразований алгебраической формулой.
В популярной и даже учебной литературе мало внимания обращается на то, что существуют шкалы, которые можно считать промежуточными между порядковыми и интервальными (и соответственно между неметрическими и метрическими!). В начале XIX века Хэмфри Дэви обнаружил, что шкалы термометров с различными жидкостями, градуированных равномерно по одним и тем же реперам, расходятся между собой в промежутке между этими реперами. Это означало, что равенства интервалов измеряемых по ним температур, строго говоря, не было, – иначе говоря, шкалы жидкостных термометров оказались в действительности более слабыми, чем интервальные шкалы. Такие же свойства в еще большей степени характерны для промышленных шкал твердости, основанных на вдавливании наконечника в исследуемую поверхность [5, 6].
В классической системе основных типов шкал более слабыми, чем интервальные, являются шкалы порядка. Однако, по-видимому, было бы неправильно считать, например, промышленные шкалы твердости “чисто порядковыми” и накладывать соответствующие ограничения на операции с их результатами (см. параграф 2.8): ведь на малых участках эти шкалы ведут себя как интервальные. Шкалы с подобными свойствами было предложено назвать ассоциативными [14], поскольку при их использовании исследуемое свойство оценивается по некоторому другому свойству, измеримому в метрической шкале.
Заметим, что ленинградский математик Владислав Яковлевич Крейнович, в настоящее время живущий в США, теоретически обнаружил существование типа шкал, промежуточного между шкалами интервалов и порядка. Их допустимые преобразования образуют группу проективных (дробно-линейных) преобразований. Однако ассоциативные шкалы не обязаны совпадать со шкалами Крейновича и для них, видимо, нельзя указать общий вид допустимых преобразований в аналитической форме.
Четвертыми из основных типов шкал являются шкалы отношений, иначе называемые пропорциональными шкалами. Они передают, кроме всех перечисленных выше отношений объектов, еще отношение пропорциональности или, иначе, эквивалентности отношений (последнее слово нужно понимать не в логическом, а в арифметическом смысле как некоторую дробь). Допустимые преобразования этих шкал z' = cz сводятся только к изменению размера единицы (рис. 2.3,б); начало отсчета у них закреплено (имеется естественный нуль). Поэтому любая пропорциональная шкала однозначно фиксируется с помощью одного репера (эталона), который, как говорят метрологи, “хранит единицу”.
В пропорциональных шкалах измеряются длина, масса, длительность интервалов времени, электрическое напряжение, ток, сопротивление, сила, скорость, энергия и множество других величин. С открытием термодинамической температурной шкалы в ранг величин, измеряемых в пропорциональных шкалах, перешла и температура, так что отмеченные выше трудности, связанные с несовершенством жидкостных термометров, перестали существовать.
Наконец, основными шкалами пятого типа являются абсолютные шкалы, обладающие не только естественным нулем, но иестественной единицей. Группа их допустимых преобразований состоит из единственного – тождественного – преобразованияz' =z(рис. 2.3,в).
В абсолютных шкалах измеряются величины, сами по себе являющиеся отношениями, например, такие как коэффициент усиления. Естественными единицами обладают также пространственный угол и угол сдвига фаз (этими единицами являются соответственно полный оборот и полный фазовый цикл).
Располагая системой типов шкал, можно договариваться о том, каковы должны быть минимальные требования к свойству объектов, чтобы его можно было называть величиной. Примечание к определению величины К.П. Широкова (см. параграфы 2.1 и 2.2) ограничивает объем понятия величины свойствами, измеряемыми в пропорциональных и абсолютных шкалах. Представляется целесообразным разрешить называть величинами также и свойства, измеряемые в ассоциативных шкалах, например, твердость, при условии наличия у них естественного нуля. Что касается интервальных, порядковых и номинальных шкал, то применительно к ним предлагается употреблять уже встречавшийся выше термин “атрибут”. Так, положение события во времени (характеризуемое его датой) есть атрибут, а не величина. То же относится к положению объекта в пространстве, характеризуемому линейными и угловыми координатами в заданной системе отсчета.
Теперь можно вернуться к введенным в параграфе 1.2 терминам “классификационные данные” и “количественные данные”. Ясно, что классификационные данные соответствуют использованию номинальных шкал и шкал упорядоченных классов, а количественные данные – использованию ассоциативных и метрических шкал.