2.5. Общая идея репрезентационной теории

Чтобы применить понятия, введенные в предыдущем параграфе, к задаче отображения свойств объектов числами, нужно рассмотреть ситуацию, в которой реляционная система < A; {R_q} > являетсяэмпирической, а реляционная система <B; {S_q} > –числовойсистемой. Эмпирическая система реальна; числовая – абстрактна.

В эмпирической системе элементы множества Aчасто являются физическими объектами, но они могут быть также ощущениями, экономическими обстоятельствами и т. д. Важно то, что отношения в эмпирической системе, образующие множество {R_q}, либо задаются по известным фактам, либо выявляются по откликам испытуемых или по результатам эксперимента. Отношения в числовой системе, принадлежащие множеству {S_q}, задаются аксиоматически.

Если существует гомоморфизм fиз эмпирической системы в числовую, то по отношениям между числовыми образамиf(a_i) реальных объектов можно судить об отношениях между этими реальными объектами, а в этом и состоит смысл отображения свойств этих объектов числами. Функцияfв описываемой ситуации должна представлять собой некоторую систему правил, определяющую выбор числового образа для каждого объекта эмпирической системы.

Таким образом, предметом изучения в РТ являются упорядоченные тройки, каждая из которых состоит из эмпирической системы с отношениями, числовой системы с отношениями и функции (системы правил), гомоморфно отображающей эмпирическую систему в числовую (рис. 2.1). Такую упорядоченную тройку в РТ называют шкалой (читателю, привыкшему к тому, что шкалой называется часть отсчетного устройства стрелочного прибора или, например, ртутного термометра, рекомендуется подумать, не является ли шкала прибора частным случаем шкалы в смысле РТ).

Наглядно можно представить себе шкалу в виде словаря: в левой колонке помещаются эмпирические объекты, а в правой – соответствующие им числа. В некоторых ситуациях множество A эмпирических объектов является конечным и жестко задается; в других ситуациях оно потенциально бесконечно: может появиться сколько угодно и каких угодно объектов, принадлежащих к определенному классу. Понятие шкалы чрезвычайно важно с точки зрения теории познания – шкала есть то, что позволяет осуществитьпереход от объектов реального мира к абстрактным объектам мира символов.

2.6. Типы шкал и допустимые преобразования (неметрические шкалы)

Различные системы правил приписывания чисел объектам приводят к различным типам шкал. Эти различные типы шкал принято характеризовать либо теми наборами отношений {R_q} в эмпирической системе, которые передаются соответствующими отношениями {S_q} в числовой системе, либо (что во многих случаях удобнее)допустимыми преобразованиямичисловой системы шкалы, при которых не нарушается гомоморфизм. Допустимые преобразования как бы устраняют ненужные для данного типа шкалы отношения чисел.

Допустимые преобразования для шкалы любого типа образуют группув математическом смысле этого слова. Действительно, последовательное применение любого числа допустимых преобразований снова есть допустимое преобразование, и для любого допустимого преобразования существует обратное преобразование, также являющееся допустимым – тем самым для допустимых преобразований выполняютсяаксиомы группы.

Считается, что существует пять основных типов шкал, различающихся по своей “силе” – более сильные шкалы передают большее число отношений в эмпирической системе.

Наиболее слабыми являются номинальные шкалы, передающиетолько отношения эквивалентностив эмпирических системах.

Особым случаем эквивалентности является отношение идентичности объекта самому себе (при этом каждый класс эквивалентности содержит в точности один объект); номинальные шкалы, передающие только это отношение, называются шкалами наименований. Процедуру использования шкалы наименований нельзя считать познавательной: это есть просто присвоение объектам индивидуальных имен.

В случае, когда классы эквивалентности могут содержать произвольное число объектов, номинальную шкалу называют шкалой классификации. Процедура отнесения какого-либо нового объекта к определенному классу (из нескольких заранее заданных с помощью образцов или общезначимых описаний) естьпознавательная процедура классификации.

Если классы не заданы заранее, их формирование на основе сходства объектов по каким-либо признакам тоже есть познавательная процедура; ее называют кластеризацией.

Группой допустимых преобразований номинальных шкал являетсягруппа перестановок: гомоморфизм не нарушится, если числовые обозначения классов эквивалентности произвольным образом поменять (рис. 2.2,а).

Отметим, что группа перестановок настолько разрушает систему отношений, которыми мы привыкли наделять числа, что позволяет говорить не столько о полноценных числах, сколько о числовых знаках(“нумералах”). Можно даже присваивать классам не числовые, а любые другие символические обозначения. Что касается правил присвоения обозначений объектам или классам, то в номинальных шкалах они сводятся к одному: не присваивать одного обозначения двум различным объектам или классам.

Более сильными являются шкалы порядка, называемые такжепорядковымиилиординальными. Они передают, наряду с отношением эквивалентности, еще и отношение строгого порядка в эмпирических системах. Соответственно правило присвоения чисел объектам таково: присваивать большее число объекту с более сильным проявлением свойства.

Процедура расположения объектов в ряд по возрастанию размеров некоторого выбранного свойства называется ранжированием. Если какую-либо совокупность объектов ранжирует несколько экспертов, то результаты ранжирования могут различаться (у каждого эксперта получается свой порядок следования объектов). Для этой ситуации предложены специальные методы статистической обработки.

Вспомним старое и чрезмерно широкое определение, приведенное в параграфе 2.2: ”величина есть все, что может увеличиваться или уменьшаться”. Теперь можно сказать иначе – это есть свойство, для которого может быть построена по крайней мере шкала порядка. Однако, естественно, и такая формулировка неприемлемо широка в качестве определения величины.

Группа допустимых преобразований ординальных шкал есть группа положительных монотонных преобразований, которые могут изменять числа, присваиваемые объектам, но сохраняют порядок их следования (рис. 2.2,б).

Обычно в качестве примера шкалы порядка приводят минералогическую шкалу твердости: из двух минералов aиbболее твердым считается тот, который может нанести царапину на другом, и ему приписывается большее число твердости. Однако в таком виде эта шкала не общезначима. Для того, чтобы сделать ее общезначимой, выделяют ряд минералов, которым заранее приписывают определенные числа.

Выделенные опорные объекты, делающие шкалу (любого типа) общезначимой, будем называть реперными объектами или, короче, реперами.

В десятибалльной минералогической шкале Мооса [5, 6] числа твердости от 1 до 10 присвоены ряду реперных минералов от талька до алмаза.

Если при этом все минералы, попадающие по твердости между какими-либо двумя смежными реперами, считать эквивалентными, получится шкала, промежуточная по типу между шкалами классификации и порядка, – ее можно назвать шкалой упорядоченных классов.

Такие шкалы встречаются довольно часто; например, в параграфе 1.2 был приведен пример шкалы, состоящей из трех упорядоченных классов: а) имеется перелом кости;б) нет перелома, но есть трещина;в) кость цела. Такого же типа шкалы используются при назначении группы инвалидности, выставлении оценки на экзамене и т.д. Объекты относят к тому или иному классу либо путем сравнения с реперами (как при оценивании твердости минерала), либо на основании мнения эксперта (как при оценивании знаний студента).