2. Величина и шкала

КАК ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕТРОЛОГИИ

2.1. Классическое определение величины

Всякое конкретное измерение в ходе экспериментальной деятельности есть измерение какой-либо физической величины. Поэтому в метрологии понятие величины является одним из исходных и наиболее фундаментальных.

Дать общее определение величины не просто. Одна из наиболее продуманных формулировок содержится в ныне уже не действующем стандарте ГОСТ 16263-70“Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Термины и определения”, автором которого был выпускник нашего института (1931), профессор ВНИИМ им. Д.И. Менделеева Константин Павлович Широков.

Согласно этому стандарту физическая величина (краткая форма термина – величина) есть “свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта”.

При этом индивидуальность в количественном отношении понимается в том смысле, что свойство может быть для одного объекта в определенное число раз больше или меньше, чем для другого.

Заметим, что исследователь-биолог не должен рассматривать сочетания слов “физическая величина” и “физический объект” как указывающие на науку физику; здесь прилагательное “физический” скорее служит синонимом слова “материальный”.

Из текста приведенного выше определения видна двойственность понятия величины. С одной стороны каждая величина, будучи общим свойством многих объектов, едина для всех этих объектов (например, можно говорить об электрическом напряжении как величине, характеризующей всевозможные участки электрических цепей); с другой стороны, величина характеризует каждый объект в отдельности (соответственно говорят об электрических напряжениях на заданных участках цепи). Эти два оттенка понятия величины обычно можно различить по контексту; если же потребуется специально подчеркнуть второй, индивидуальный оттенок, мы будем употреблять не общепринятый и не стандартизованный термин: реализация величины.

В результате измерения получается значение физической величины, то есть, согласно тому же стандарту, оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Но количественная сторона каждой реализации величины существует объективно независимо от того, была ли она измерена или нет. Для обозначения этой объективной количественной стороны в метрологии используют термин: размер величины (не следует путать его с термином “размер” в смысле некоторого параметра объекта – “размер обуви”, “линейные размеры детали” и т. д.). В необходимости термина “размер величины” можно убедиться на таком примере: различные страны имеют свои национальные эталоны килограмма; эти эталоны слегка различаются, поэтому единица массы в каждой стране имеет свой размер.

2.2. Аддитивные и неаддитивные величины

Важной составной частью приведенного в параграфе 2.1 определения величины является примечание: индивидуальность следует понимать в том смысле, что свойство может быть для одного объекта в определенное число раз больше или меньше, чем для другого.

Эта формулировка заметно сужает объем понятия величины по сравнению с другим известным, очень старым определением: величина есть все, что может увеличиваться или уменьшаться.

Казалось бы, примечание самоочевидно: если две реализации одной и той же величины (например, массы) измерены и получены их значения, например, 2 кг и 5 кг, то всегда можно разделить друг на друга числовые значения и узнать, во сколько раз одна величина больше другой – в данном примере вторая масса больше первой в 5/2 = 2,5 раза. Но в примечании говорится не об отношении значений величин, а о числовом отношении размеров величин до измерения – ведь само измерение есть определение отношения размера измеряемой величины к размеру единицы. Иначе говоря, выполнение условия, сформулированного в примечании, есть предпосылка измерения, а никак не его следствие.

Наиболее просто и очевидно реализуется это условие для аддитивных величин, или, точнее, для величин, характеризуемых физической аддитивностью. Величина физически аддитивна, если на множестве характеризуемых ею объектов определена операция объединения, и притом такая, что размер величины для объекта, являющегося результатом этой операции, есть сумма размеров величин для объектов-операндов.

Последнюю фразу можно упрекнуть в нестрогости, поскольку для размеров величин не была определена операция суммирования. Для того, чтобы обойти это возражение, достаточно говорить о суммировании реализаций величин, одинаковых по размеру: сумма двух таких реализаций дает реализацию величины удвоенного размера, трех – утроенного и т.д.

Так, на множестве стержней, характеризуемых длиной, возможна операция стыковки, такая, что длина двух стержней, соединенных встык, есть сумма длин этих стержней. Масса двух твердых тел, соединенных любым способом, есть сумма масс исходных тел. Электрическое напряжение двух источников, соединенных последовательно, есть сумма напряжений каждого из источников. При последовательном соединении двух проводников складываются их сопротивления, а при параллельном соединении – проводимости. Длительность события, состоящего из двух примыкающих друг к другу событий, есть сумма длительностей исходных событий. Длина, масса, напряжение, сопротивление, проводимость, длительность и многие другие величины физически аддитивны. Принято говорить также, что они фундаментально измеримы.

Не для всех важных свойств физических объектов можно указать такую операцию объединения. Например, вряд ли можно так соединить два твердых тела, чтобы плотность объединенного тела была суммой плотностей исходных тел – плотность считается неаддитивной величиной. Но все-таки она является величиной, так как в данном случае упомянутое условие удовлетворяется благодаря наличию имеющего ясный физический смысл определяющего уравнения: γ = m/V, где γ – плотность, m – масса и V – объем тела (причем как m, так и V фундаментально измеримы). О подобных величинах говорят, что они поддаются, в отличие от фундаментального, производному измерению.

Как правило, каждая полноценная физическая величина входит в уравнения нескольких научных законов (яркий пример – равенство гравитационной и инерционной масс). В связи с этим величина обычно может быть измерена различными методами, и при этом получаются полностью согласующиеся результаты.

В качестве примера свойства, для которого нет и осмысленного определяющего уравнения, может быть названа твердость материала как свойство сопротивляться проникновению через его поверхность. Твердость находят, вдавливая в исследуемый образец наконечник стандартизованной формы и измеряя глубину проникновения или площадь полученного отпечатка. Есть и другие методы измерения твердости, например, по высоте отскока шарика, брошенного на поверхность образца.

Но разные методы измерения твердости на одном и том же множестве образцов дают несогласующиеся результаты. Если, например, какой-нибудь метод измерения дал для образца A вдвое большее значение твердости, чем для образца B, то это не значит, что образец A вдвое тверже образца B, потому что другой метод измерения может дать другое отношение значений твердости образцов A и B. Поэтому, строго говоря, твердость не удовлетворяет определению величины по ГОСТ 16263–70.

Этими проблемами занимается репрезентационная теория (РТ), основы которой рассмотрим в следующих параграфах. Будущему исследователю необходимо знать основные идеи РТ, поскольку в биологических исследованиях может встретиться большое число подобных свойств, не удовлетворяющих строгому определению величины.

2.3. Происхождение репрезентационной теории

Родоначальником РТ считается Герман Гельмгольц, опубликовавший в конце XIX века большую статью “Числа и меры в теоретико-познавательной трактовке”. Отвечая на вопрос: “В чем объективный смысл выражения величин числами?” он писал в этой статье, что измерение возможно и имеет смысл, если имеется подобие операций, совершаемых над физическими объектами, операциям над числами. В качестве операций над физическими объектами он рассматривал объединение (о котором говорилось в предыдущем параграфе) и сравнение; аналогичные операции над числами – это суммирование и установление равенства.

Таким образом, теория Гельмгольца хорошо описывала и объясняла измерение только аддитивных величин.

В первых десятилетиях XX века идеи Гельмгольца развивал ряд ученых, в частности, в аксиоматическом плане Хельдер, в физическом плане Кемпбелл [13], причем теоретические трудности, связанные с наличием неаддитивных физических величин, не были преодолены.

К концу 30-х годов проблема неаддитивных величин особенно обострилась в области психофизических исследований. Под этим термином здесь имеется в виду изучение функциональных зависимостей субъективных ощущений человека от вызывающих их физических стимулов, – например, зависимости субъективной громкости звука от интенсивности звукового давления или (другой пример) зависимости субъективной высоты звука от частоты звуковых колебаний.

Эти исследования требовали измерения ощущений. Но специальный комитет Британской ассоциации развития науки, которому был поручен анализ этой проблемы, пришел к выводу, что измерять ощущения будет возможно только в том случае, если будет доказана их аддитивность.

Не соглашаясь с этим, видный психофизик С.С. Стивенс предложил кардинально новое, чрезвычайно широкое определение измерения, звучавшее примерно так: измерение есть приписывание чисел объектам по определенным правилам. Различным правилам соответствуют различные типы шкал измерений.

Эти новые идеи оказались полезными не только в психофизике, но и в экономических науках, в частности, для измерения субъективных предпочтений и полезности. Кроме того, они хорошо поддавались формализации. Все эти обстоятельства вызвали большой поток работ как математического, так и методологического характера.

В ходе этой деятельности и было предложено произвести от слова represent (представлять) название “репрезентационная теория”, то есть теория представления свойств объектов числами.