Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Здесь переменные х и у выражены через переменную t; чтобы найти функцию f , нужно выраэить у через х, для чего следует из первого уравнения системы (17) найти t: t =ω(х) , а результат подставить во второе уравнение: у =ψ (ω(х) ) = f(x). Систему (17) называют параметрическим представлением функции y = f(x), а t в этой системе называют параметром.

Пример 12. Пусть функции ϕ и ψ определены на сегменте [0, π] равенствами ϕ (t) = a cos t и ψ (t) = asint. Функция ϕ , очевидно, строго монотонна на [0, π], значит, она взаимно однозначно отображает [0, π] на множество её значений Х = [-а, а]; поэтому система

x =a cost ,

t [0, π],

y =a sin t.

является параметрическим представлением некоторой функции y = f(x), область определения которой есть сегмент [-а, а]. Чтобы найти f(x), найдем t

Имеем: ϕ (t) = a (t −sin t ) , ϕ ′(t) = a (1−cos t ) > 0 на (0, 2π); значит, ϕ возрастает на [0, 2π] от 0 до 2πа. Значит, рассматриваемая система является параметрическим представлением некоторой функции y = f (x), область определения которой есть сегмент [0, 2π а]. Чтобы найти f (x), нужна обратная функция ω = ϕ−1 . Для её отыскания следует разрешить уравнение х= a (t −sin t ) относительно t . Ясно, однако, что сделать это не удастся, следовательно, не удастся найти и f(x).

Параметрический способ задания функции – один из наиболее распространенных, в том числе и в приложениях математики. Как свидетельствует пример 13, для функции, заданной таким способом, не всегда удается получить её явное задание вида y = f(x). В таких случаях возникает задача: пусть известно параметрическое представление (17) функции f , т.е. известны функции ϕ и ψ ; можно ли, обладая только информацией о свойствах

ϕ и ψ , выяснить основные свойства функции f : непрерывна ли она? дифференцируема ли? как найти её производную? Ниже даны ответы на эти вопросы.

1. Если ϕ и ψ непрерывны на (α , β ), то f непрерывна на интервале (a,b) – множестве значений функции ϕ на (α , β ).

43

Действительно, по теореме о множестве значений строго монотонной функции ([1], стр.67 ), множество значений функции ϕ на (α , β ) есть некоторый интервал; обозначим его через (a,b). По теореме о непрерывности обратной функции ([1], стр.69 ) функция ω = ϕ−1 непрерывна на (a,b). По теореме о непрерывности сложной функции ([1], стр.58 ) суперпозиция непрерывных функций ω и ψ , функция f , непрерывна на (a,b).

2.Если ϕ и ψ дифференцируемы на (α , β ), причем производная

ϕ′ (t) не обращается в нуль на (α , β ), то f дифференцируема на (a,b), а

для её производной f ′ справедливо параметрическое представление

В самом деле, по теореме о производной обратной функции ( п.1.3, теорема 5) функция ω дифференцируема в каждой точке интервала (a,b),

( п.1.3, теорема 4) функция f = ψ oω дифференцируема в каждой точке

3. Если ϕ и ψ дважды дифференцируемы на (α , β ), причем производная ϕ ′ (t) не обращается в нуль на (α , β ), то f дважды дифференцируема на (a,b), а для её производной f ″ справедливо параметрическое представление

дения 2. , рассмотрев систему (19) как параметрическое представление функции f ′.

Пример 14. Пусть f – функция, параметрическим представлением которой является система (18). Областью её определения является сегмент [0, 2π а] (см. пример 13). Непосредственно из 1. следует: f непрерывна на (0, 2π а). Этот вывод можно дополнить: f непрерывна на сегменте [0, 2π а]. Действительно, ϕ (t) = a (t −sin t) возрастает и непрерывна на сегменте [0, 2π],

значит, обратная функция ω = ϕ−1 возрастает и непрерывна также на

44

Литература

1. Рыжаков И.Ю. МАТЕМАТИКА. Предел последовательности. Предел Предел функции. Непрерывные функции. С-Пб.: СПбГТУ, 2002.

2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа, т.1,-М.: Наука, 1981

Оглавление

1.Производная и дифференциал

1.1.Производная функции в точке ……………………………………………… 3

1.2.Функции, дифференцируемые в точке ……………………………………. 5

1.3.Теоремы, облегчающие вычисление производных ……………………….. 6

1.4.Дифференциал функции ……………………………………………………. 10

45

1.7.Функции, дифференцируемые на промежутке ……………………………. 15

1.8.Производные высших порядков ……………………………………………. 17

2.Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

2.1.Локальный экстремум функции …………………………………………… 18

2.4.Формула Тейлора …………………………………………………………… 24

2.5.Дифференциалы высших порядков …………………………………………. 30

3.Исследование поведения функции

3.1.Промежутки постоянства и монотонности …………………………………. 31

3.2.Точки локального экстремума ………………………………………………. 33

3.3.Промежутки выпуклости …………………………………………………….. 36

3.4.Точки перегиба ……………………………………………………………….. 38

3.5.Асимптоты функции ………………………………………………………….. 40

46