Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Теорема 2. (Критерий монотонности функции на промежутке)

Пусть функция f непрерывна на a,b и дифференцируема на (a,b).

Для того, чтобы она была неубывающей (невозрастающей ) на промежутке a,b , необходимо и достаточно, чтобы её производная была неотрицатель-

ной (неположительной) на интервале (a,b).

► Необходимость. Пусть х0 –произвольная точка интервала (a,b). По условию теоремы существует производная f ′(х0 ) , значит, существует и

односторонная производная справа f+′(х0 ) , причем f ′(х0 ) = f+′(х0 ) . Рассмотрим случай неубывающей функции. По определению

=f+′(x) ≥ 0 .

Вслучае невозрастающей функции аналогично покажем: x (a,b)

f ′(x) = f+′(x) ≤ 0 .

Достаточность. Пусть х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, - точки, произвольно выбраные на промежутке a,b . На сегменте [х1 , х2] функция f

удовлетворяет требованиям условия теоремы Лагранжа. Запишем формулу конечных приращений: f(х2) – f(х1) = f ′(ξ) ( х2 - х1), где х1 <ξ < х2.

Пусть f ′(х) неотрицательна на (a,b). Тогда f ′(ξ) ≥ 0, и, значит, f(х1) ≤

≤ f(х2). Таким образом, для любых х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, справедливо неравенство f(х1) ≤ f(х2), т.е. функция f удовлетворяет определению неубывающей на a,b функции.

В случае f ′(х) ≤ 0 на (a,b) из f(х2) – f(х1) = f ′(ξ) ( х2 - х1) следует: f удовлетворяет определению невозрастающей на a,b функции. ◄

Теорема 3. (Достаточный признак строгой монотонности) Пусть функция f непрерывна на a,b и дифференцируема на (a,b). Если при всех

х (a,b) f ′(х) > 0 ( f ′(х) < 0 ), то функция f возрастает ( убывает ) на a,b .

► Пусть х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, - точки, произвольно выбраные на промежутке a,b . На сегменте [х1 , х2] функция f удовлетворяет

требованиям условия теоремы Лагранжа. Запишем формулу конечных приращений: f(х2) – f(х1) = f ′(ξ) ( х2 - х1), где х1 <ξ < х2.

Пусть f ′(х) положительна на (a,b). Тогда f ′(ξ) > 0, и, значит, f(х1) < < f(х2). Таким образом, для любых х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, справедливо неравенство f(х1) < f(х2), т.е. функция f удовлетворяет определению возрастающей на a,b функции.

33

В случае f ′(х) < 0 на (a,b) из f(х2) – f(х1) = f ′(ξ) ( х2 - х1) следует: f удовлетворяет определению убывающей на a,b функции. ◄

3.2. Точки локального экстремума

Понятие локального экстремума было введено в п. 2.1. Дополним данные там определения. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0 , х0 R .

Определение. Точку х0 назовем точкой строгого локального максимума ( строгого локального минимума ) функции f , если существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего интервалам (х9- δ, х0 ) и (х0, х0 + + δ) справедливо строгое неравенство f(х) < f(х0) ( f(х) > f(х0) ) . Здесь мы рассматриваем такую задачу: функция f непрерывна на

некотором интервале (a,b), ограниченном или неограниченном; найти точки её локальных максимумов и минимумов.

Согласно следствию теоремы Ферма (см. п.2.1), если функция f дифференцируема в точке х0 (a,b) , а f ′(х0 ) ≠ 0, то х0 заведомо не может быть

точкой локального экстремума. Следовательно, отыскивая точки локальных максимумов и минимумов функции f, достаточно ограничиться рассмотрением тех точекинтервала (a,b) , в которых либо производная f ′ су-

ществует и равна нулю, либо производная f ′ не существует. Такие точки в дальнейшем будем называть точками, подозрительными на экстремум. Покажем на примере, что подозрительная на экстремум точка не всегда ока-

Однако, f(x) возрастающая функция, и у нее нет точек локального экстре-

Рис. 7 мума (см. рис. 7).

Таким образом, чтобы отыскать точки экстремума, следует найти подозрительные на экстремум точки, а затем для каждой из них выяснить, является ли она точкой экстремума на самом деле. Выяснить это можно с помощью достаточных признаков экстремума. Прежде, чем сформулировать первый из них, введем в употребление термины.

Пусть функция f определена в проколотой окрестности точки х0 . Будем говорить, что при переходе через х0 функция меняет знак с + на -, если существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 на (х0 – δ, х0) и f(х)< 0 на (х0, х0 + +δ). Теперь понятен смысл терминов “при переходе через х0 функция ме - няет знак с – на + ” и “при переходе через х0 функция не меняет знак ” Например, при переходе через х0 = 0 функция f(x) =x 3 меняет знак с – на

34

+ (см. рис. 7) , а функция f (x) = 1 x2 при переходе через ту же точку знака

не меняет.

Теорема 4. (Первый достаточный признак экстремума) Пусть фун-

кция f непрерывна в некоторой окрестности точки х0 и дифференцируема в её проколотой окрестности, и пусть х0 является для f точкой, подозрительной на экстремум,. Тогда:

1) если при переходе через х0 производная f ′ меняет знак с + на -,

не является точкой локального экстремума функции f.

► 1) Существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 на (х0 – δ, х0) и f(х)< 0 на (х0, х0 + δ). В силу критерия монотонности f не убывает на (х0 – δ, х0] и не возрастает на [х0, х0 + δ); следовательно, при всяком х (х0 −δ , х0 +δ )

f (x) ≤ f (x0 ) , т.е. х0 - точка локального максимума.

2)Доказательство здесь аналогично приведенному выше.

3)Допустим для определенности, что существует δ > 0 такое, что

f(х) > 0 и на (х0 – δ, х0), и на (х0, х0 + δ). Значит, f не убывает и на (х0 – δ, х0], и на [х0, х0 + δ); т.е. f не убывает на (х0 – δ, х0+ δ); поэтому х0 не может быть точкой экстремума. ◄

Пример 2. Пусть f(x) =x 2 . Эта функция дифференцируема на всей числовой оси, а точка х9 =0 является подозрительной на экстремум: f ′(0) = = 0. При переходе через эту точку производная f ′(х) = 2х меняет знак с – на +; значит, х9 =0 есть точка локального минимума.

Пример 3. Пусть f(x) =|x| . Эта функция дифференцируема на всей числовой оси, за исключением точки х9 =0 ; f ′(х) ≡ -1 на (-∞ , 0) и f ′(х) ≡1 на (0,+∞). Таким образом, х9 =0 является точкой, подозрительной на экст - ремум ( в ней f ′не существует), и при переходе через неё f ′ меняет знак с

– на +; значит, х9 =0 есть точка локального минимума.

Теорема 5. (Второй достаточный признак экстремума) Пусть функция f n, n> 1, раз дифференцируема в точке х9 , причем

2)если n – нечетное, то х9 не является точкой локального экстремума.

► По теореме Тейлора-Пеано

Отсюда, так как f ′(x0 ) = f ′′(x0 ) =... = f (n−1) (x0 ) = 0 ,

35

выше” ) хорды АВ. Если же при всех х ( x1 ,x2) l(x) < f(x) ( l(x) > f(x) ), то график функции f(x) на интервале (x1, x2) проходит “строго выше” (“строго ниже” ) хорды АВ (см. рис.8).

строгое неравенство, т.е. l(x) < f(x) ( l(x) > f(x) ), то будем говорить, что функция f строго выпукла вверх ( строго выпукла вниз) на a,b .

Так как f дифференцируема в точке х1 , то предел в левой части

37

Аналогично, воспользовавшись вторым выражением для функции l(x) из

всем требованиям условия теоремы Лагранжа, поэтому существуют точки

ξ1 [x1 , x] и ξ2 [x , x2 ], такие, что f(x)-f(x1) = f ′(ξ1 ) (x – x1) и f(x2) – f(x) =

Приведя к общему знаменателю (х – х1)(х2 - х) и умножив на него обе

части неравенства, получим: f (x) (x2 −x1 ) < f (x2 ) (x −x1 ) + f (x1 ) (x2 −x). Поделим обе части на x2 – x1 :

38

► Действительно, f ′′ есть производная от f ′, и если при всех х на (a,b) f ′′(x) >0 ( f ′′(x) < 0 ), то в силу достаточного признака строгой монотонности (см. теорему 3) f ′ возрастает (убывает ) на (a,b) . ◄

Пример 6. Пусть f(x) =x 2 . Имеем: f ′′(x) = 2 >0 на (- ∞, +∞); значит, эта функция строго выпукла вниз на (- ∞, +∞).

Пример 7. Пусть f(x) =x 3 . Имеем: f ′′(x) = 6х ; она отрицательна на (- ∞, 0) и положительна на (0, +∞). Следовательно, эта функция строго выпукла вверх на (- ∞, 0) и строго выпукла вниз на (0, +∞), см. рис. 7.

3.4. Точки перегиба

Пусть функция f непрерывна в точке х0 , х9 R .

Определение. х0 назовем точкой перегиба функции f , если существует δ > 0 такое, что на одном из интервалов (х0 – δ , х0) и (х0 , х0 + δ) она строго выпукла вниз, а на другом из них – строго выпукла вверх.

Рис. 10

Таким образом, точка перегиба отделяет интервал, на котором функция строго выпукла вниз, от интервала, на котором она строго выпукла вверх. На рис. 10 схематически изображены графики функций в окрестности точки х0 , которая для каждой из них является точкой перегиба.

Теорема 7. (Критерий перегиба) Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности U х0 точки х0 , х9 R , и дифференцируема в

o

проколотой окрестности U x0 . Для того, чтобы х0 была точкой перегиба, необходимо и достаточно, чтобы существовало δ > 0 такое, что на одном из интервалов (х0 – δ , х0) и (х0 , х0 + δ) производная f ′ возрастает, а на другом – убывает.

В силу критерия выпуклости ( теорема 6) интервалы строгой выпуклости функции являются интерваломи строгой монотонности её производной и наоборот; поэтому утверждение теоремы 7 вытекают непосредственно из утверждений критерия выпуклости.

Следствие. Точка перегиба дифференцируемой функции является точкой строгого локального экстремума её производной.

Теорема 8. Пусть х0 , х9 R , является точкой перегиба функции f. Если f дважды дифференцируема в этой точке, то f ′′(x0 ) =0 .

39

► В силу следствия предыдущей теоремы х0 является точкой строгого экстремума производной f ′. Так как f дважды дифференцируема х0 , то f ′ дифференцируема в этой точке; значит, по теорема Ферма производная от f ′, т.е. f ′′, в точке х0 обращается в 0 . ◄

Следствие. Если f дважды дифференцируема в точке х0, а f ′′(x0 ) ≠0 ,

то х0 заведомо не является точкой перегиба функции f.

Пусть функция f непрерывна в точке х0 , х9 R . Точку х0 будем называть точкой, подозрительной на перегиб, если либо f ′′(x0 ) =0 , либо f ′′(x0 ) не существует. Из теоремы 8 и ее следствия вытекает, что только

такие точки могут быть точками перегиба. Однако, не всегда точка, подоэрительная на перегиб, на деле оказывается точкой перегиба.

и на (0, +∞); так что оба эти интервала являются интервалами выпуклости вниз.

Теорема 9. (Достаточный признак перегиба) Пусть х0 , х9 R . есть

точка, подозрительная на перегиб функции f , и пусть f дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки.. Тогда

1)если f ′′меняет знак при переходе через х0 , то х0 является точкой перегиба;

2)если f ′′не меняет знак при переходе через х0 , то х0 не является

производная от f ′, в силу достаточного признака строгой монотонности f ′ возрастает на первом интервале и убывает на втором. Значит (см. критерий выпуклости) первый интервал есть интервал строгой выпуклости вниз, а второй – строгой выпуклости вверх; поэтому х0 - точка перегиба.

вертикальной асимптотой функции f при х→х0 .

40

Теорема 10. (О наклонной асимптоте) Пусть функция f определена на интервале (- ∞, а) . 1) Для того, чтобы существовала её наклонная асимптота при х→ - ∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

2) Если пределы (16) существуют, то прямая, уравнение которой y = kx + +b есть наклонная асимптота функции f при х→ - ∞.

► 1) Необходимость. Пусть наклонная асимптота функции f при

теоремы о разности между функцией и числом следует: lim (f (x) −kx −b)= 0 ,

x→−∞

аэто означает, что L является асимптотой при х→ - ∞.

2)Это утверждение уже доказано, см. 1) , Достаточность. ◄

Теорема 11. Пусть функция f определена на интервале (а , + ∞) . 1) Для того, чтобы существовала её наклонная асимптота при х→ + ∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

2) Если эти пределы существуют, то прямая, уравнение которой y = kx + +b есть наклонная асимптота функции f при х→ + ∞.

Доказательство теоремы аналогично приведенному выше.

3.6. Исследование поведения функции, заданной параметрическим способом

Пусть на некотором промежутке α, β , α < β , определены функции

f

42