Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Выше правило Лопиталя ( предел отношения функций равен пределу отношения их производных) применялось для вычисления предела отно - шения двух бесконечно малых. Это правило применяется и при вычислении предела отношения двух бесконечно больших. Чтобы получить формулировки теорем, на которых оно основывается в случае бесконечно больших функций, нужно в формулировках приведенных выше теорем полагать функции α и β бесконечно большими. Для примера приведем формулировку теоремы, аналогичной теореме 5: пусть функции α и β дифференцируемы на некотором интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на

23

есть предел отношения двух бесконечно больших, и можно снова применить правило Лопиталя:

предел равен нулю; значит( с учетом предыдущего результата), при 0 < µ≤

бесконечно больших, и мы вновь обращаемся к правилу Лопиталя.

Таким образом, для любого µ > 0 , применив правило Лопиталя n+1

раз, где n есть целая часть µ, получим: lim xµ = 0. ◄

x→+∞ a x

В теоремах и рассмотренных выше примерах правило Лопиталя применялось для вычисления предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций. В других ситуациях, чтобы можно было воспользоваться этим правилом, следует предварительно преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы свести задачу к отысканию предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций.

Пример 4. Вычислить lim x x .

x→+0

было воспользоваться правилом Лопиталя, преобразуем выражение под

24

2.4. Формула Тейлора

Пусть n – натуральное число, большее единицы, а х0 – вещественное число.

Определение. Будем говорить, что функция f n раз дифференцируема в точке х0 , если эта функция , а также её производные до порядка n-1 включительно дифференцируемы в точке х0 .

Функция, дифференцируемая в точке, определена в некоторой её окрестности, , причем в этой точке существует производная функции (см. п.1.2). Следовательно, если функция f n раз дифференцируема в точке х0, то она и ее производные до порядка n-2 включительно дифференцируемы

внекоторой окрестности этой точки, а дифференцируемость производной

порядка n-1 можно гарантировать только в точке х0 , Заметим еще, что n – кратная дифференцируемость f в точке х0 эквивалентна существованию в этой точке производных функции до порядка n включительно.

Ради единообразия будем говорить, что функция, дифференцируемая

вточке х0 (см. определение в п.1.2), дифференцируема в этой точке один раз.

Пусть функция f n раз, где n – любое натуральное число, дифферен-

k =0

Числа tk , k = 0, 1, … , n, называют коэффициентами Тейлора функции f . Очевидно, Tn(x) представляет собой алгебраический многочлен степени не выше n ; его называют многочленом Тейлора функции f. Нетрудно убедиться, что в точке х0 значения многочлена Tn(x) и его производных до порядка n включительно совпадают со значениями в этой точке функции f и её соответствующих производных:

Tn(x0) = f(х0) ; T (k ) n(x0) = при k = 1, … , n. (8)

Еще одно свойство многочлена Тейлора описано в следующей теореме.

Теорема 8. (Теорема Тейлора-Пеано) Пусть функция f n раз, где n

– любое натуральное число, дифференцируема в точке х0 , Тогда справедлива асимптотическая формула:

25

∆ f(h) = f(x0+h) – f(x0) = f ′(x0 ) h + o(h). Положив здесь h = x –x0 , получим:

f(x) – f(x0) = f ′(x0 ) (х-х0)+ o(х-х0). Отсюда, так как T1(x) = f(x0) + f ′(x0 ) (х-х0),

следует: f (х)=T1(x) + о( (х-х0)), х→х0 . и теорема доказана для случая n= 1. Пусть теперь n> 1. Обозначим: rn (x) = f (х) - Tn(x) . Требуется

так как f (х) n раз дифференцируема,то и rn (x) обладает тем же свойством, причем из (8) следуют равенства

Снова введем две функции α(х) = r′n (x) и β(х) = n (х-х0) n−1 и применим к ним теорему 7: если существует конечный или бесконечный предел

Функция α(х) = rn (n−1) (x) дифференцируема в точке х0 , поэтому

α(х)- α(х0) = α′(х0) (х-х0) +о(х-х0), т.е. rn (n−1) (x) - rn (n−1) (x0 ) = rn (n) (x0 ) (х− х0 ) + +о(х− х0 ) . Но rn (n−1) (x0 ) = rn (n) (x0 ) = 0 (см. (10)) ; значит, rn (n−1) (x) = о(х− х0 ) . После подстановки в (11), получим:

Формулу (9) называют разложением функции f по формуле Тейлора в окрестности точки х0 ; слагаемое о( (х-х0) n ) называют остаточным членом этой формулы. Ее называют также формулой Тейлора порядка n c остаточным членом в форме Пеано.

Таким образом, разность между функцией f (х) и ее многочленом Тейлора Tn(x) яаляется при х →х0 бесконечно малой, порядок которой выше n. Заметим,что среди всевозможных алгебраических многочленов

26

степени не выше n таким свойством обладает только многочлен Tn(x). Точнее, справедлива следующая теорема.

Теорема 9. (О единственности многочлена Тейлора). Пусть f (х) -

функция, n раз дифференцируемая в точке х0 , а Рn (x) – некоторый алгебраический многочлен степени не выше n. Если справедливо асимптотическое представление f(х) = Рn (x) + о((х-х0) n ). то Рn (x) есть многочлен Тейлора Tn(x) функции f(х) .

► По условию теоремы f(х) = Рn (x) + о((х-х0) n ). Кроме того, в силу теоремы Тейлора - Пеано f (х) = Tn(x) + о( (х-х0) n ). Вычитая одну формулу из другой, получим: Tn(x) - Рn (x) = о((х-х0) n ). Отсюда следует: при х →х0

Tn(x) - Рn (x) =(t0 –p0) +(t1 –p1) (x-x0) + (t2 –p2) (x-x0) 2 + …+ (tn -pn) (x-x0) n .

Отсюда и из Tn(x) - Рn (x) → 0 следует: t0 –p0 = 0, т.е. t0 = p0 . Значит,

Tn(x) -Рn (x)=(t1 –p1) (x-x0) + (t2 –p2) (x-x0) 2 +(t3 –p3)(x-x0) 3 +…+ (tn -pn) (x-x0) n ;

T (x) −P (x)

n x −x0n = (t1 –p1) + (t2 –p2) (x-x0) +(t3 –p3)(x-x0) 2 …+ (tn -pn) (x-x0) n−1 .

Так как Tn (x) −Pn (x) → 0, то t1 –p1 = 0, т.е. t1 = p1. Следовательно, x −x0

T (x) −P (x)

n x −x0n = (t2 –p2) (x-x0) +(t3 –p3)(x-x0) 2 …+ (tn -pn) (x-x0) n−1 ;

T (x) −P (x)

n − n 2 = (t2 –p2) +(t3 –p3)(x-x0) …+ (tn -pn) (x-x0) n−2 .

(x x0 )

Отсюда, так как Tn (x) −Pn (x) →0 , следует t2 =p2..

(x −x0 )2

Продолжая описанный процесс и используя равенства (12), в итоге докажем равенства tk = pk , k = 1,2, …, n . Значит, Tn(x)≡ Рn (x). ◄

Приведем несколько примеров разложений функций по формуле Тейлора в окрестности х0 = 0. Такие разложения называют также разложениями (формулами ) Маклорена.

Пример 5, Пусть f(х)= ех , х0 = 0.

Эта функция имеет производные любого порядка; поэтому для нее формулу (9) можно записать при любом натуральном n. Пусть k – некоторое натуральное число; имеем: f (k ) (х)= ех . Найдем коэффициенты

27

Пусть n – любое натуральное число Запишем многочлен Тейлора

разложение порядка n функции f(х)= ех в окрестности х0 = 0 выглядит так:

Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена

n

Запишем формулу Маклорена порядка n : ln(1+x) = ∑tk xk + o( xn ), т.е.

k =0

28

Пример 9. Пусть f(х)=(1+x) µ , где µ – любое вещественное число,

х0 = 0.

Методом математической индукции нетрудно проверить: при всяком натуральном k f (k ) (x) =µ(µ −1)... (µ − k +1) (1+ x)µ−k . Найдем коэффециенты

любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка n :

Пусть функция f дифференцируема n раз в точке х0 , причем f(х0) = = 0. Тогда функция f является бесконечно малой при х → х0 , t0 = f(0)= 0, и формула (8) принимает вид:

f (x) = t1(х-х0) + t2(x-x0) 2 +…+ tn(x-x0) n + о((х-х0) n ).

Среди коэффициентов t1, t2, …, tn также могут оказаться равные нулю; не исключен и такой случай, когда все они равны нулю. Таким образом, если функция f является бесконечно малой при х → х0 , возможны два случая: либо найдется натуральное р, 1≤ р ≤ n, такое,что tk = 0, k = 0,1, …, p-1, a t р≠ 0, либо все коэффициенты t1, t2, …, tn равны нулю.В первом случае

f (x) = tр(х-х0) р + tр+1(x-x0) р+1 +…+ tn(x-x0) n + о((х-х0) n )=

= tр(х-х0) р + о((х-х0) р ) ;

значит, при х → х0 f (x) является бесконечно малой порядка р , а tр(х-х0) р есть её главная часть. Во втором случае, очевидно, порядок бесконечно малой f (x) выше n. Из сказанного видно, что разложения по формуле Тейлора могут быть использованы для определения порядка бесконечно малых и выделения их главных частей.

► Воспользуемся разложением примера 6: sin x = x − x3 +o (x4 ) .

3!

Заменив числитель и знаменатель их главными частями, получим:

29

Разложения по формуле Тейлора широко используются в приближенных вычислениях. Из представления (9) следует, что при х, близких к х0 , f(x) “почти не отличается” от Tn(x); значит, Tn(x) может быть принято в качестве приближенного значения f(x) . Однако, формула (9) не дает возможности оценить погрешность приближенного равенства f(x) ≈ Tn(x). В приведенной ниже теореме к функции f предьявляются более жесткие сравнительно с теоремой 8 требования, зато остаточный член формулы Тейлора записан в виде, удобном для получения оценки погрешности.

Теорема 10. (Теорема Тейлора - Лагранжа) Пусть функция f n +1

раз дифференгцируема в некоторой окрестности U x0 точки х0 , х0 R . Тогда для всякого х, х U x0 , х ≠ х0 , найдется ξ , лежащее между х и х0 , такое что

► Пусть х U x0 , и пусть для определенности х > х0 . На сегменте [х0 , х] определим две функции φ и ψ: при z [x0 , x]

Эти функции удовлетворяют на сегменте [х0 , х] всем требованиям условия теоремы Коши (теоремы 3). Следовательно, существует ξ [х0 , х]