Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

13

положением секущей при условии что точка Мh стремится вдоль графика γ

к точке М0 .

Пусть прямая не перпендикулярна оси ОХ. Тангенс угла наклона такой прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом прямой. Обозначим через k(h) угловой кoэффициент секущей ∆h. Тогда (см. рис. 1)

Теорема 6. (О существовании наклонной касательной к графику)

Пусть функция f определена в некоторой окрeстности точки х0 , х0 R. Для того, чтобы существовала наклонная касательная ∆0 к графику γ функции f в точке М0(х0,у0), где у0 =f(x0), необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируемой в точке х0 .

► Необходимость. Пусть касательная существует, т.е. lim α(h)= α0 .

h→0

= lim tgα(h) = tg α0., т.е. f ′(x0 ) = tg α0 . Так как производная существует,

h→0

функция дифференцируема в точке х0 .

Достаточность. Пусть f дифференцируема в точке х0 . Тогда

существует и равен arctg f ′(x0 ) , а прямая ∆0 , проходящая через точку Мh под углом наклона к оси ОХ , равным. α0 = arctg f ′(x0 ) есть касательная. ◄ Таким образом, производная f ′(x0 ) есть угловой коэффициент

касательной к графику функции f в той точке М0 этого графика, абсцисса которой равна х0 – в этом состоит геометрический смысл числа f ′(x0 ) .

О приращении функкции ∆ f(h)= f(x0+h) - f(x0) можно сказать, что это есть приращение ординаты точки Мh , движущейся по графику функции. Отрезок LhNh на рис. 1 равен произведению катета М0Lh на tg α0 , т.е. он равен f ′(x0 ) h = df(h). Это позволяет дать такую

формулировку геометрического смысла дифференциала: геометрически df(h) есть приращение ординаты точки Nh, движущейся по касательной ∆0 .

1.6. Односторонние производные. Бесконечные производные.

Пусть х0 R, а функция f определена на промежутке [x0 ,x0+ δ) (на промежутке (,x0 – δ, х0 ] ) , где δ - некоторое положительное число.

14

называют односторонней производной справа ( односторонней производной слева ) функции f в точке х0 и обозначают символом f+′(x0 ) (

символом f−′(x0 ) ) .

Пусть h = x – x0 . Тогда

теоремы о связи предела функции с её односторонними пределами ([1],

стр. 41 ).

Теорема 7. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0 R, Для того, чтобы существовала производная f ′(x0 ) ,

необходимо и достаточно, чтобы существовали обе односторонние производные и чтобы выполнялось равенство f+′(x0 ) = f−′(x0 ) . Если это

равенство имеет место, то f ′(x0 ) = f+′(x0 ) = f−′(x0 ) .

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0 R, и пусть при h→0 отношение ∆fh(h) стремится к +∞ или к - ∞. В таких

(см. п. 1.5), в указанных случаях график функции имеет в точке М0(х0, у0), где у0 = f (x0 ) , вертикальную касательную. На рис.3 схематически изоб-

15

d) f+′(x0 ) = - ∞, f−′(x0 ) = + ∞.

1.7. Функции, дифференцируемые на промежутке

Пусть (a,b) , a < b – некоторый интервал, ограниченный или неограниченный (т.е. для а допускается значение - ∞, а для b – значение +∞ ), а функция f определена на этом интервале.

Определение 1. Будем говорить, что функция f дифференцируема на интервале (a,b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Из примеров п.п. 1 и 3 следует, что функции ах , sinx , cosx дифференцируемы на (- ∞,+∞) , loga x дифференцируем на (0, +∞) , tgx

дифференцируем на каждом из интервалов (−π2 + kπ , π2 + kπ), k Z , сtgx

дифференцируем на каждом из интервалов (kπ , (k +1)π) , k Z . Пусть функция f определена на сегменте [a,b] , a < b.

Определение 2. Будем говорить, что функция f дифференцируема на сегменте [a,b] , если она дифференцируема на интервале (a,b) и , кроме того, имеет одностороннюю производную справа в точке a и одностороннюю производную слева в точке b.

Ввиду определений 1 и 2 ясно, как следует понимать дифференцируемость функции на промежутках [a,b) и (a,b].

Пусть a ,b , a < b, – произвольный промежуток, ограниченный или

неограниченный, а функция f дифференцируема на нем. Определим на этом промежутке новую функцию g: для всякой внутренней точки х

16

описанным способом называют производной функцией от функции f или, проще, - производной функции f и обозначают символами f ′, dfdx f ′(х),

(f (x))′.

Опираясь на примеры, рассмотренные в п.п.1 и 3, можно сделать следующие выводы.

Если функция тождественно на промежутке a ,b равна константе,

то ее производная равна нулю тождественно на этом промежутке ( это часто выражают записью С′≡0 ). Для показательной функции f (x) =a x

(ех )′ = ех . Для степенной функции f (x) =хµ , где µ –любое вещественное

1.8.Производные высших порядков

Пусть a ,b , a < b, – произвольный промежуток, ограниченный или неограниченный, а функция f дифференцируема на нем. Тогда на a ,b , определена производная f ′. Функция f ′может оказаться дифференцируемой на a ,b . В таком случае на a ,b определена производная функции f ′. Эту производную называют производной второго порядка функции f и обозначают символами

f ′′, f ′′(x),(f (x))″, f (2) (x), d 2 f . dx2

17

Пример 13. На (- ∞, + ∞) имеем: (sin x)′ = cos x. Функция cosx , в свою очередь, дифференцируема на (- ∞, + ∞), и (cos x)′ = −sin x . Значит, функция – sinx является производной второго порядка функции sinx:

(sin x)′′ = (cos x)′ = −sin x .

Производную функции f ′′ называют производной третьего порядка функции f . Вообще, при всяком натуральном n >1 производной порядка n функции f называют производную производной порядка n –1 этой функции. Производную порядка n функции f обозначают символами

часто называют производной первого порядка функции f.

С помощью метода математической индукции можно доказать справедливость следующих утверждений: пусть функции f и g имеют на

теперь n – некоторое натуральное число; допустим, что А(n) справедливо:

18

Таким образом, из допущения “ A(n) справедливо” вытекает справедливость A(n+1). Следовательно, установлена справедливость A(n) при всех натуральных n.

2. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

2.1. Локальный экстремум функции

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0 ,

х0 R .

Определение. Точку х0 назовем точкой локального максимума (

локального минимума ) функции f ,

если существует δ > 0 такое, что для

всякого х, принадлежащего интервалу

(х9- δ, х0+ δ) справедливо неравенство f(х)≤ f(х0) ( f(х)≥ f(х0) ) .

точкой локального минимума. Точки локального максимума и локального минимума называют

точками локального экстремума функции.

Теорема 1. (Теорема Ферма) Если функция дифференцируема в точке её локального экстремума, то производная функции в этой точке равна нулю.

► Пусть точка х0 является точкой локального максимума функции

x→x0 +0

x −x0

потому f ′(x0 ) = 0.

В случае локального минимума доказательство аналогично. ◄

2.2. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа

Теорема 2 (Теорема Ролля) Пусть функция f непрерывна на сегменте [a,b] , a<b, дифференцируема на интервале (a,b) , а на его концах

19

принимает одинаковые значения: f(a) =f(b). Тогда на интервале (a,b) существует хотя бы одна точка, производная в которой равна нулю.

► Так как f непрерывна на [a,b], она ограничена на нем, и на [a,b] существуют точки х и х такие,что f( х ) = m, f( х ) = M, где m =inf f (x) ,

[a,b]

M =sup f (x) ( [1], стр. 61). Очевидно, m≤ M. Если m= M, то функция тож-

[a,b]

дественно на сегменте [a,b] равна константе, а тогда ее производная тождественно на интервале (a,b) равна нулю; следовательно, в случае m= M утверждение теоремы справедливо. Пусть теперь m < M. Так как f(a) =f(b), то хотя бы одна из точекх и х должна быть внутренней точкой сегмента, т.е. она принадлежит интервалу (a,b). Такая точка, очевидно, является точкой локального экстремума; по теореме Ферма производная функции в ней равна нулю.◄

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f и g непрерывны на сегменте [a,b] , a<b, дифференцируемы на интервале (a,b) , причем производная g ′ не принимает значение нуль на этом интервале. Тогда на (a,b)

► Заметим: g(b) ≠ g(a). Действительно, если бы имело место равенство g(b) = g(a), то функция g удовлетворила бы условию теоремы Ролля. Значит, производная g ′ должна была бы обратиться в нуль хотя бы одной точке интервала (a,b), что противоречит условию доказываемой теоремы.

убедиться, что функция F(x) удовлетворяет на [a,b] всем требованиям условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале (a,b) найдется точка ξ , в которой производная F ′ принимает значение нуль:

сегменте [a,b] , a<b, и дифференцируема на интервале (a,b), то f(b) – f(a) = = f ′(ξ) (b – a), где ξ – некоторая точка интервала (a,b),

20

► Пусть g (х) = х на сегменте [a,b]. Нетрудно увидеть, что функции f и g удовлетворяют всем требованиям условия теоремы Коши; значит, на

наклона к оси абсцисс хорды АВ, где А(а,f(а)) , B(b,f(b)), а справа – тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции в точке М (ξ, f(ξ)) ( рис. 6) . Значит, хорда и касательная параллельны. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа можно сформулироватьтак: на графике функции существует точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, стягивающей его концы.

Замечание 2. Пусть х0 – некоторая точка числовой оси, h ≠ 0, и пусть функция f непрерывна на сегменте,ограниченном точками х0 и

х0 + h ( здесь возможно и h>0 , и h<0 ) и дифференцируема на интервале, ограниченном теми же точками. Тогда по теореме Лагранжа f(х0 + h) – - f( х0) = f ′(ξ) h, где ξ – некоторая точка, лежащая между х0 и х0 + h. Это

равенство можно записать так: ∆ f(h) = f ′(ξ) h. Так как ξ лежит между х0 и х0 + h , то можно подобрать число θ, 0 < θ < 1, так, чтобы выполнялось

ξ = х0 + θ h; тогда ∆ f(h) = f ′(х0 + θ h) h.

2.3. Правило Лопиталя

Теоремы предыдущего пункта имеют многочисленные приложения в анализе. В частности, на них опирается так называемое правило Лопиталя

– способ вычисления предела функции, который часто оказывается наиболее простым и эффективным.

Теорема 5. Пусть функции α и β дифференцируемы на некотором

21

► Пусть х – точка, выбранная на (a, b). На сегменте [х,b] зададим две функции α~ и β~ :

Эта пара функций удовлетворяет на сегменте [х,b] всем требованиям усло-

Доказатедьство этой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 5.

Теорема 7. Пусть функции α и β дифференцируемы в некоторой

•

► В проколотой окрестности нуля U 0 = (-1,0) (0,1) числитель α(х) = tgx – x и знаменатель β(x) = arcsinx – ln(1+x) дифференцируемы, а производная β′(x) не принимает значение 0: при х (-1,0) (0,1)

22