Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производная и дифференциал

1.1 Производная функции в точке

Пусть функция f определена в некоторой окрестности U x0 точки х0 , х0 R , и пусть х – произвольная точка из этой окрестности, отличная от х0 .

в точке х0 . Очевидно, это отношение можно рассматривать как функцию

Укажем одну из интерпретаций введенного математического понятия. Рассмотрим движение материальной точки вдоль некоторой прямой. Обозначим через S(t) путь, пройденный точкой с момента начала движения t= 0 до момента t >0. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени между моментами t0 и t , 0 < t0 < t, равен S(t) - S(t0). В

мгновенной скоростью движения в момент t0 . Следовательно, в данном случае производная S′(t0 ) есть мгновенная скорость движения в момент t0 .

В более широком плане, если две переменные у и х связаны функциональной зависимостью y = f(x), то f ′(x0 ) есть скорость изменения

переменной y относительно переменной х при х= х0.

Разность х-х0 назовем приращением аргумента х в точке х0 и обозначим через ∆х, а также через h : х - х0 = ∆х= h; тогда х= х0 + ∆х= х0 +

3

приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Приведем примеры вычисления производной.

Пример 1. Пусть функция тождественно в некоторой окрестности точки х0 , х0 R , равна константе: x U x0 f (x) =C, C R. Для всякого х,

Пример 2. Пусть f(x) = a х , где a> 0, a ≠ 1. Вычислим f ′(x0 ) , где х0 - любое вещественное число. Имеем: ∆f ( h) = f(x0+h) – f(x0) = a x0 +h - a x0 =

Замечание. Если показатель µ таков, что функция f(x) =хµ определена и при x < 0 (например, если µ N ), то , повторив приведенные выше выкладки, получим для всякого x0 < 0: f ′(x0 ) = µ х0 µ−1 .

Производная f ′(x0 ) существует не всегда.

Пример 6. Пусть f(x) = х13 . Эта функция определена на всей числовой оси, и в силу примера 5 и замечания к нему при всяком x0 ≠ 0

отношение не имеет конечного предела, поэтому f ′(0) не существует.

4

1.2.Функции, дифференцируемые в точке

Определение. Функцию f называют дифференцируемой в точке х0 , х0 R , если 1) f определена в некоторой окрестности U x0 этой точки и 2) существует число А такое, что для приращения ∆f ( h) функции f в

Из (2) имеем , так как x = x0 + h: f(x) = f(x0) + А( x – x0) + o(x – x0) =

= А x+B+ o(x – x0), где B = f(x0) - А x0. Итак, для функции f в окрестности U x0 справедливо асимптотическое представление f(x) = А x+B+ o(x – x0),

где А и В – некоторые числа. В общих чертах содержание этой формулы можно передать следующей фразой: в малой окрестности точки x0 функция f(x) “почти не отличается ” от функции l(x) = Ax+B. Это свойство дифференцируемой функции используется для упрощения решений многих задач математического анализа, ибо позволяет замепнить функцию f(x), которая может быть весьма сложным обьектом, функцией простейшей структуры l(x) = Ax+B. Этим и обьясняется то внимание, которое уделяется дифференцируемым функциям.

Теорема 1. (Критерий дифференцируемости) Для того, чтобы функция f была дифференцируемой в точке х0 , х0 R , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f ′(x0 ) .

► Необходимость. Пусть справедливо представление (1) . Тогда

Таким образом, f ′(x0 ) существует и равна А.

достаточно малых по модулю, т.е. для h U 0 определим функцию α(h ) :

5

При всех h U 0 справедливо равенство ∆f ( h) = f ′(x0 ) h + h α (h). По

теореме о разности между функцией и числом ([1], стр. 50) α(h )→ 0 при h→ 0, следовательно, h α (h) = o(h). Итак, для ∆f ( h) имеет место представление (1) , в котором А = f ′(x0 ) , поэтому f дифференцируема в

точке х0 . ◄ Следствие 1. Константа А в формуле (1) определяется

единственным образом, а именно, А = f ′(x0 ) .

Это равенство получено при доказательстве необходимости. Следствие 2. Для приращения функции, дифференцируемой в точке

х0 , при всех h, достаточно малых по модулю имеет место представление

где α (h) – некоторая функция, удовлетворяющая требованиям: α(h )→ 0

при h→ 0 и α(0 )= 0.

Равенство (3) получено при доказательстве достаточности. Функции, рассмотренные в примерах 2,3 и 4 имеют производные в

каждой точке х0 R ; в силу теоремы 1 эти функции дифференцируемы во всех точках числовой оси. Степенная функция f(x) =хµ , где µ – некоторое вещественное число, дифференцируема во всех точках х0 R , х0≠0, в которых она определена (см. пример 5 и замечание к нему). Функции f(x)

= = х13 и f(x) = |х| не имеют производных в точке х0 = 0, значит, они не являются дифференцируемыми в этой точке ( см. примеры 5 и 7).

Теорема 2. (О непрерывности дифференцируемой функции)

Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в ней. ► Пусть функция f дифференцируема в точке х0. Тогда

справедливо представление (1), из которого следует: ∆f ( h) → 0 при h→ 0

. В силу теоремы о приращении непрерывной функции ([1] , стр. 55) функция f непрерывна в точке х0 .◄

Замечание. Согласно теореме 2 из дифференцируемости функции вытекает ее непрерывность. Обратное утверждение неверно: функция, непрерывная в точке, может оказаться не дифференцируемой в этой точке. Сошлемся на пример 7: f(x) = |х| непрерывна в точке х0 = 0, но не дифференцируема в ней.

1.3. Теоремы, облегчающие вычисление производных Теорема 3. (Об арифметических действиях с дифференцируемыми

функциями) Пусть функции f и g дифференцируемы в точке х0. Тогда:

6

Для приращения ∆F (h) мы получили представление (1), в котором А= = f ′(x0 ) + g′(x0 ) . Значит, F дифференцируема в точке х0 , причем F ′(x0 ) =

= А = f ′(x0 ) + g′(x0 ).

2. Пусть F =f g. Воспользовавшись (4), получим:

∆F(h) =F(x0 + h)− F(x0 ) = f (x0 + h) g(x0 + h) − f (x0 ) g(x0 ) = =( f (x0 ) + f ′(x0 ) h +o(h)) ( g(x0 ) + g′(x0 ) h +o(h) ) − f (x0 ) g(x0 ) = = (f ′(x0 ) g(x0 ) + f (x0 )g′(x0 ))h + o(h).

Для приращения ∆F (h) получено представление, в котором А =

потому она непрерывна в точке х0 . В силу теоремы о сохранении знака непрерывной функции ([1] , стр. 55) существует окрестность U x0 такая,

что для любого х из этой окрестности g(x) ≠0 . Следовательно, функция F

∆F ( h) = Аh + o(h) ; тем самым будет установлена и дифференцируемость

Воспользовавшись формулами (4), в числителе последней дроби получим: f (x0 + h) g(x0 ) − f (x0 ) g(x0 + h) =( f ′(x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g′(x0 ) ) h + o(h)

Отсюда:

7

Пример 8. Пусть f(x)= sinx, g(x) = cosx, F(x) = gf ((xx)) = tgx.

Воспользовавшись утверждением 3) доказанной теоремы, для всякого х0 ,

Теорема 4. ( О производной сложной функции) Пусть функция f

дифференцируема в точке х0 , а функция g дифференцируема в точке у0 , у0 = f(x0). Тогда сложная функция F = g o f дифференцируема в точке х0 ,

причем. F ′(x0 ) = g′( y0 ) f ′(x0 ) .

► Функции f и g дифференцируемы , а потому и непрерывны в точках х0 и у0 . По теореме о непрерывности сложной функции ([1], стр. 58) F непрерывна в точке х0 ; а это означает, в частности, что F определена в некоторой окрестности U x0 . Значит, при всяком х, принадлежащем U x0 ,

точка у = f(x) принадлежит окрестности U у0 , в которой определена g. Пусть h достаточно мало по модулю, так что х0+ h U х0 .

Обозначим: ∆у=∆f (h) = f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 + h) − y0 . Тогда f(x0+h) = y0 + ∆у ; поэтому

∆F(h) = F(x0 + h) − F(x0 ) = g(f (x0 + h))−g(f (x0 ))= g( y0 + ∆y) − g( y0 ), т.е. ∆F (h) = ∆g( ∆y) .

В силу формулы (3) ∆g( ∆y) = g′( y0 ) ∆y + ∆yα (∆y) , где α(∆у) – некоторая функция такая, что α(∆у) → 0 при ∆у → 0 и α(0) = 0. Так как f дифференцируема, то ∆у=∆f (h) = f ′(x0 ) h + o(h). Подставляя эти выражения

для ∆у , получим:

∆F (h) = ∆g( ∆y) = g′( y0 ) ∆y + ∆yα (∆y) =

= g′( y0 ) (f ′(x0 ) h +o(h)) + ∆f (h) α (∆y) = g′( y0 ) f ′(x0 ) h + β (h) ,

где β (h) = g′( y0 ) o(h) + ∆f (h) α (h) . Покажем, что β (h) = o(h) , т.е. что

8

непрерывной функции, поэтому ∆у →0 при h →0 . Так как α(∆у) → 0 при ∆у → 0 (см. выше), а ∆у →0 при h →0 , то α(∆у) → 0 при h →0 . Таким

образом, βh(h) = g′( y0 ) o(hh) + ∆fh(h) α (∆y) →0 при h →0 , так как оба слагаемые в правой части стремятся к нулю при h →0

обратная функция g = f −1 непрерывна на некотором интервале (с, d), содержащем точку у0 = f(х0) и строго монотонна на нем. Пусть ∆у отлично от нуля и достаточно мало по модулю, так что у0 + ∆у (с, d). Обозначим:

монотонная функция, то ∆х = g( y0 + ∆y) − g( y0 ) отлично от нуля, поэтому

Перейдем в этом равенстве к пределу при ∆у → 0 . Заметим,что при ∆у → 0 стремится к нулю и ∆х, ибо является приращением непрерывной функции:

9

функции в точке x0 можно рассматривать как функцию от h, которая

определена для тех h, при которых x0 + h (α , β) , т.е. для h U0 = (α - x0 , β - x0 ) ; h называют приращением аргумента х и обычно обозначают через

∆х. Из формулы (1) следует, что функция ∆f (h) является бесконечно малой при h →0 , причем, если А ≠ 0, то порядок её равен единице, а произведение А h (напомним: А = f ′(x0 ) ) есть её главная часть ([2] , стр.40) . Если же А = 0, то порядок бесконечно малой ∆f (h) выше единицы.

Определение. Дифференциалом функции f в точке x0 назовем произведение f ′(x0 ) h, где h = ∆х принимает любые значения в интервале

10

Если f ′(x0 ) ≠ 0 , то дифференциал df(h) представляет собой главную часть приращения ∆f (h) . Если же f ′(x0 ) = 0 , то при любых h df(h) = 0, т.е.

дифференциал в этом случае тождественно равен нулю. При h, малых по модулю дифференциал функции ”почти не отличается ” от её приращения (см. формулу (5)); это обстоятельство позволяет упрощать решения многих задач, заменяя приращение простым и удобным в обращении выражением – дифференциалом df(h). Так поступают, например, если требуется найти приближенное значение функции в заданной точке.

+ 121 0,12 = 2 + 0,01 = 2,01. Недостатком приведенных здесь выкладок

является отсутствие оценки погрешности приближенного равенства ≈ 2,01. Ниже будет указан способ получения этой оценки.

Из теоремы 3 вытекают следующие правила вычисления дифференциалов : пусть функции f и g дифференцируемы в точке х0 , тогда

1.d(f+g) = df + dg ;

2.d(f g) = f(x0) dg + g(x0) df ;

Если функции f и g удовлетворяют требованиям, указанным в условии теоремы 4 о производной сложной функции, то для суперпозиции

имеем в точке х0 : dF = F ′(x0 ) h = g′( y0 ) f ′(x0 ) h , где у0 = f(x0). Дифференциал сложной функции обладает свойством, которое называют инвариантностью (неизменностью) его формы. Опишем это

свойство.

Пусть х0 – некоторое число, а функция φ определена в её окрестности равенством φ(х) = х. Приращение и дифференциал этой функции назовем приращением и дифференциалом независимой переменной х и обозначим через ∆х и dx соответственно. Заметим: ∆x = φ(х0+h) – φ(x0) =(х0+h) – x0 = = h; а так как φ′(x) = 1, то dx = φ′(x0) h = h; значит, приращение независимой переменной х равно её дифференциалу: ∆x = dx.

Пусть переменная у является функцией переменной х, дифференцируемой в точке х0 : y =у(x), где у(х) - функция, дифференцируемая в точке х0 . Дифференциал функции у(х) назовем

11

дифференциалом зависимой переменной у и обозначим через dy : dy = y′(x0) h. Здесь h – приращение аргумента (независимой переменной) х, значит (см. выше), можно записать и dy = y′(x0) ∆х, и dy = y′(x0) dx.

Последнее равенство прочитаем так: дифференциал зависимой переменной равен произведению её производной на дифференциал её аргумента .

Пусть переменная z является функцией переменной у : z = z(у), и пусть эта функция дифференцируема в точке у0 = y(x0). Тогда z представляет собой сложную функцию независимой переменной х : z = z(у(х)) = = F(x); в силу теоремы о производной сложной функции F дифференцируема в точке x0 , причем F′(x0) = z′(y0) y′(x0) . Запишем дифференциал переменной z : dz = F′(x0) dx = z′(y0) y′(x0) dx. Но y′(x0) dx = dy, значит, dz = z′(x0) dу, т.е. дифференциал dz зависимой переменной z = z(у) равен произведению её производной z′(у0) на дифференциал dу её аргумента у. Таким образом, правило написания дифференциала зависимой переменной осталось прежним.

Итак, если две переменные, функция и её аргумент связаны дифференцируемой зависимостью, то дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента - это правило действует и в случае, когда аргумент является независимой переменной, и в случае, когда аргумент сам представляет собой функцию от некоторой третьей переменной. В этом и состоит свойство инвариантности формы дифференциала. Этому свойству можно дать еще и такую формулировку: производная функции равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента – при этом не играет роли, является ли аргумент независимой или зависимой переменной.

1.5.Геометрический смысл производной и дифференциала

12