Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Комплексные числа. Алгебраические многочлены и дроби

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.05.2015

Размер:

702.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

нимают совпадающие значения в n + 1 попарно различных точках a1 , a2 , …

…, an+1 :	Pn (aj ) =Qn (aj ) , j = 1, 2, … , n + 1. Тогда наборы коэффициентов Pn (z )
и Qn (z )	одинаковы:	pk = qk	при всех k = 0, 1, … , n.
			n
	Обозначим:	Tn (z ) = ∑( pk −qk ) zn−k . При каждом j, j = 1, 2,		… , n + 1,
			k =0
	n
имеем	Tn (aj ) = ∑( pk −qk )anj −k		= Pn (aj ) −Qn (aj ) = 0 , т.е. многочлен Tn (z )	имеет n

k=0

+1 попарно различных корней. По следствию 1 все его коэффициенты рав-

ны нулю pk −qk = 0 , k = 0, 1, … , n . Отсюда: pk = qk , k = 0, 1, … , n .

Пусть Pn (z ) и Qn (z ) - два многочлена. Будем говорить, что они равны и записывать при этом Pn =Qn , если их значения совпадают при всех комплекс-

ных z : z C Pn (z ) =Qn (z ) .

n		n
Следствие 3. Пусть Pn (z ) = ∑pk zn−k	,	Qn (z ) = ∑qk zn−k . Для того, чтобы
k =0		k =0

эти два многочлена были равны, необходимо и достаточно, чтобы совпадали наборы их коэффициентов.

Необходимость. Пусть Pn =Qn , т.е. z C Pn (z ) =Qn (z ) . Выберем

какие – нибудь попарно различные числа a1 , a2 , … , an+1 .		Из z C Pn (z) =
= Qn (z) следует: Pn (aj ) =Qn (aj ) ,	j = 1, 2, …, n + 1. По следствию 2		pk = qk ,
k = 0, 1, … , n .
Достаточность очевидна: если pk = qk , k = 0, 1, … , n, то z C
n	n
∑pk z n−k =	∑qk z n−k .
k =0	k =0
Замечание 6. Пусть значения многочленов Pn (z ) и		Qn (z ) совпадают во

всех точках вещественной оси: х R P(х) = Qn (х) .Тогда их значения совпадают на всей комплексной плоскости: z C Pn (z ) =Qn (z ) .

Выберем попарно различные точки a1 , a2 , … , an+1 на вещественной оси. Имеем: Pn (aj ) =Qn (aj ) , j = 1, 2, …, n + 1. По следствию 2 наборы коэффициентов этих многочленов совпадают, а тогда z C Pn (z ) =Qn (z ) .

2.3.Вещественные многочлены

	n
Алгебраический многочлен	Pn (z ) = ∑pk zn−k	называют вещественным
	k =0

многочленом, если все его коэффициенты – вещественные числа. Значения, принимаемые вещественным многочленом в точках вещественной оси, являются вещественными числами.

Теорема 4.( О корнях вещественного многочлена) Пусть Pn (z ) – веще-

ственный алгебраический многочлен степени n, n ≥ 1, и пусть a, a C, – корень этого многочлена кратности k. Тогда сопряжённое число a также является корнем Pn (z ) , причем той же кратности k.

Так как a - корень кратности k, то справедливо представление (14):

z C Pn (z ) =Tn−k (z )(z −a)k ,

n−k

где

Tn−k (z ) = ∑tl zn−k −l ,

причем Tn−k (a) ≠ 0 .

Отсюда (см. п. 1.7): z C

l=0

n−k

(z ) =T

(z )(z −a)k =

∑t

n−k −l

(

−a )k .

l =0

Вчастности, эти равенства справедливы при вещественных z. Если z = x

R, то z = x ; кроме того, Pn (x ) = Pn ( x ) , так как при всяком x R Pn (x ) есть вещественное число. Отсюда: x Rn n−k l

		Pn (x ) =		= S n−k (x ) ( x −a )k ,
			Pn (x )
	n−k
где	S n−k (x ) = ∑tl	x n−k −l . Обозначим: Qn (z) = = Sn−k (z)(z − a )k . Значения многочле-
	l =0

нов Pn (z ) и Qn (z) совпадают во всех точках вещественной оси; следовательно (см. замечание 6 , п. 2.2), их значения совпадают во всех точках комплексной плоскости: z C Pn (z ) = S n−k (z )(z −a )k .

							n−k		n−k
		Заметим, что S n−k (a ) ≠ 0 . Действительно, Sn−k (a) = ∑t						n−k −l a k =	∑tn−k −l ak =
							l =0		l =0
=					≠ 0 .
	Tn−k (a)		. Но Tn−k (a) ≠ 0 , значит, и Tn−k (a)
		Таким образом, z C		Pn (z ) = S n−k (z )(z −		a	)k , причем S n−k (a ) ≠ 0 . Сле-
довательно (см. (14)), число				a является корнем Pn (z ) кратности k .
			n
		Пусть Pn (z ) = ∑pk zn−k -		вещественный многочлен степени n,					n ≥ 1, и
			k =0
пусть		a1 , a2 , … , am , m ≤ n, –		все попарно различные его корни, а					k1 , k2 , … ,
km –		кратности этих корней. Тогда справедливо представление (18) . Допус-
тим, что a1 – мнимое число:				a1 = u +iv , где u = R e a1 , v = Im a1 , причем ν ≠ 0.

По теореме 4 число a1 = u −iv также является корнем Pn (z ) кратности k1 . Значит, в (18) среди множителей (z −a2 )k 2 (z −a3 )k 3 K (z −am )km присутствует множитель (z −a1 )k 1 . Заметим: (z −a1 )k 1 (z −a1 )k 1 = (z2 + bz +c)k 1 , где b = −a1 −a1 = −2u ,

c = a1 а1 = =| a1 |2 . Таким образом, объединив множители, отвечающие паре

мнимых сопряженных корней а и a , получаем квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами, возведенный в степень, равную кратности каждого из этих сопряженных корней.

Пусть, как и выше, Pn (z ) , n ≥ 1, – вещественный многочлен, а a1 , a2 , … , am – все его попарно различные корни. Среди них могут быть и вещест-

венные числа, и мнимые. Пусть	x 1 , x2 , … , x l	– все вещественные числа в
ряду a1 , a2 , … , am , и пусть k j	есть кратность	x j , j = 1, 2, … , l. Остальные

числа указанного ряда мнимые; в силу теоремы 4 их можно разбить на некоторое количество пар сопряженных друг другу корней. Пусть это будут пары z1 и z1 , z2 и z2 , … , zs и zs , и пусть qt - кратность каждого из корней zt и zt , t = 1, 2, … , s. Тогда из (18) получим: z C

Pn (z) = p0 (z − x 1)k 1 (z − x2 )k 2 K (z − x l )k l ((z −z1)(z −z1))q1 ((z −z2 )(z −z2 ))q2 K ((z −zs )(z −zs ))q s

Отсюда: z C

Pn (z) = p0 (z − x 1)k 1 (z − x2 )k 2 K (z − x l )k l (z2 +b1z +c1)q1 (z2 +b2z +c2 )q2 K (z2 +bsz +cs )q s . (19)

Это представление вещественного многочлена называют его разложением на вещественные множители, линейные и квадратные. Квадратные множители – это квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами; каждый из них имеет пару мнимых сопряженных корней. Справедливо равенство

k 1 + k2 +K+ k l +2q1 +2q2 +K+2qs = n .

Пример . Многочлен P5 (z ) , рассмотренный в примере п.2.2, является вещественным многочленом, он имеет простой вещественный корень x 1 = −1 и пару мнимых сопряженных корней z1 = i , z2 = −i кратности 2. Справед-

ливо представление: z C

P5 (z ) = (z +1)(z −i)2 (z +i)2 = (z +1)((z −i)(z +i))2 = (z +1)(z2 +1)2 ,

так что разложение (19) для P5 (z ) выглядит так: P5 (z ) = (z +1)(z2 +1)2 .

§3. Рациональные алгебраические дроби

Все алгебраические многочлены, рассматриваемые в этом параграфе, являются вещественными многочленами, т.е. их коэффициенты – веществен-

ные числа. Вещественный многочлен Pn (x ) = ∑pk x n−k , pk R , при веществен-

k =0

ных x принимает вещественные значения. Заметим, что такой многочлен может иметь как вещественные, так и мнимые корни.

3.1 Основные понятия
Функцию f :X → R, заданную равенством f (x ) =	Qm (x )	, где Qm (x ) и
Функцию f :X → R, заданную равенством f (x ) =	P (x )	, где Qm (x ) и
	P (x )
	n

Pn (x ) - алгебраические многочлены степени m и n соответственно, называют рациональной функцией.

Если многочлен Pn (x ) отличен от тождественной константы, т.е. если его степень есть натуральное число, рациональную функцию называют рациональной алгебраической дробью или, короче, рациональной дробью. Здесь

мы рассматриваем рациональные дроби f (x ) = Qm (x )

Pn (x )

, n ≥ 1. В качестве обла-

сти определения X такой функции выступает вся числовая ось, за вычетом конечного множества точек – вещественных корней знаменателя Pn (x ) .

Рациональную дробь Qm (x )

Pn (x )

называют правильной, если m < n, и

неправильной в противном случае, т.е. когда степень числителя больше или

равна степени знаменателя. Неправильную рациональную дробь Qm (x ) , по-

Pn (x )

делив многочлен Qm (x ) на многочлен Pn (x ) , можно представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби:

		Qm (x )				=Tm −n (x ) + S l (x ) .
		P (x )				P (x )
			n				n
Здесь Tm−n (x )	и Sl (x ) - алгебраические многочлены, причем степень l мно-
гочлена Sl (x )	меньше n. Такое преобразование дроби называют выделени-
ем её целой части.
Элементарными рациональными дробями назовём рациональные дроби
следующих двух видов:
		A				Bx +C
			,				,
		(x −a)k	,		(x 2 +bx +c)k		,
где A, B, C, a, b, c – вещественные числа, причем b2 −c < 0 ,								так что корни
						4
трехчлена x 2 + bx +c - пара сопряженных мнимых чисел; k –								натуральное
число.
3.2. Основная теорема
Пусть Pn (x ) , n ≥ 1, –				вещественный многочлен степени n, и пусть (19)

есть его разложение на вещественные множители. Таким образом, Pn (x ) име

ет l попарно различных вещественных корней x j кратности k j , j = 1, 2,.. , l,
и s пар мнимых сопряженных корней zt , zt кратности qt ,			t = 1, 2,.. , s.
Теорема 5. (О разложении дроби в сумму элементарных дробей)
Пусть	Qm (x)	- правильная рациональная дробь ( m < n),	знаменатель

	P (x)
	n

Pn (x ) которой представлен разложением (19). Существуют наборы вещест-

венных чисел

{Aj α}, где j = 1, 2, … , l,

α = 1, 2, … , k j , а также наборы ве-

щественных чисел

{Btβ }и

{Ctβ }, где t = 1, 2,…, s,

β= 1, 2, … , qt , такие, что

при всех x, x R,

x ≠ x j , справедливо равенство

(x )

A11

A12

+K+

A1k 1

(x − x 1)2

Pn (x )

x − x 1

(x − x

1)k 1

A21

A22

+K+

A2k2

(x − x2 )2

− x2

(x − x2 )k2

. . . . . . . . . . . . . . . .

Al1

Al 2

+K+

Alkl

(x − x2 )2

− x2

(x − x2 )kl

B1q х+C1q

B х+C

+... +

+ c

(х

+b х

)

+b х

(

+ c )

х+C

+... +

B2q

х+C2q

2 +b х+ c

(х2 +b х+ c

)q2

…………………………………………………….

х+C

s 2

х+C

+... +

Bsq х+Csq

2 +bs х+ cs

(х2 +bs х+ cs )2

(х2 +bs х+cs )qs

Доказательство теоремы можно найти в [1].


Замечание. Так как k 1 + k2 +K+ kl		+2q1 +2q2 +K+2qs = n , то общее
количество констант {Aj α}, {Btβ }и {Ctβ } равно степени знаменателя n.
1
Пример. Дробь			разложим в сумму элементар-
	х5 + х4 + 2х3 + 2х2 + х+1
ных дробей.
Разложение знаменателя P5 (z) = z5		+ z 4	+ 2z3 + 2z 2 + z +1 на вещественные

множители получено в примере п. 2.3.: P5 (z ) = (z +1)(z2 +1)2 . Многочлен имеет простой вещественный корень x 1 = −1 и пару мнимых сопряженных корней z1 = i , z2 = −i кратности 2. Согласно теореме 5 существуют константы – обозначим их через А, B, C, D, E - такие, что при x R, х ≠−1

1		=	A		+	Bх +C	+	Dх + E	.
х5 + х4 + 2х3 + 2х2 + х+1			х +1			х2 +1		(х2 +1)2

Найдём эти константы. Приведя дроби в правой части к общему знаменателю, получим равенство между двумя дробями, знаменатели которых одинаковы. Значит, должны совпадать и их числители:

1= A(x2 +1)2 + (Bx +C) (x +1) (x2 +1) + (Dx + E) (x +1) .

На это равенство смотрим как на равенство между двумя многочленами, причём степень многочлена в правой части не выше четвёртой. Из равенства и следствия 3 теоремы 3 следует, что должны быть одинаковы коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях х. Приравняв коэффициенты последовательно при х4 , х3 , х2 , х, х0 , получим систему уравнений для неизвест-

ных А, B, C, D, E:

x4		0 = А+ B
x4		0 = А+ B
x3		0 =B +C
x2		0 =2A + B +C + D
x		0 =B +C + D + E
x0		1= A +C + E

Отсюда:	A=− B =C = 1		4	, E = −D = 1	2		. Итак,
			4		2			1			− 1			1			− 1			1
			1			=		1	4	+	− 1	4	х+	1	4	+	− 1	2	х+	1	2	.
		х5 + х4 + 2х3 + 2х2 + х+1				=		х+1		+	х2 +1					+	(х2 +1)2					.
		х5 + х4 + 2х3 + 2х2 + х+1						х+1			х2 +1						(х2 +1)2

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Высшая школа, 1981

Оглавление

§ 1. Комплексные числа
1.1. Множество С комплексных чисел	…………… 3

1.2. Алгебраическая форма комплексного числа	…………..	4
1.3. Модуль комплексного числа	……………	7
1.4. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая
форма комплексного числа	…………….	9
1.5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных
в тригонометрической форме	…………….	10
1.6. Возведение в целую степень и извлечение корня	……………	11
1.7. Сопряжённые комплексные числа	…………….	13
1.8. Сходящиеся последовательности комплексных чисел	…………….	13
1.9. Показательная форма комплексного числа	…………….	17
1.10. Логарифм комплексного числа	…………….	18
§ 2. Алгебраические многочлены
2.1. Корень алгебраического многочлена и его кратность	…………….	19
2.2. Разложение многочлена на линейные множители	……………..	21
2.3. Вещественные многочлены	……………..	23
§ 3. Рациональные алгебраические дроби
3.1. Основные понятия	……………..	25
3.2. Основная теорема	…………….	26

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Матан_2

#
23.05.2015993.28 Кб50Векторные функции.doc
#
23.05.20152.64 Mб40КОМПЛЧисла.DOC
#
23.05.20153.13 Mб127Криволинейные и поверхностные интегралы.doc
#
23.05.20151.09 Mб35Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.pdf
#
23.05.2015702.59 Кб50Рыжаков И.Ю. Комплексные числа. Алгебраические многочлены и дроби.pdf