Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Комплексные числа. Алгебраические многочлены и дроби

где k достаточно придавать значения 0, 1, … , n – 1. Положив здесь n = 2 и k = 0, 1, найдем два значения корня квадратного из единицы:

Эти три точки делят единичную окружность на три равные дуги.

1.7. Сопряженные комплексные числа

Пусть z C , x = R e z , y = Im z . Обозначим через z комплексное число такое, что R e z = x , Im z = −y . Таким образом, если z = x +iy , то z = x +i (−y ) , что обычно записывают в виде разности: z = x −iy .

Каждое из чисел пары z и z называют числом, сопряженным с другим числом этой пары. На комплексной плоскости точки, изображающие числа z и z , располагаются симметрично относительно вещественной оси.

Справедливы следующие утверждения.

1. (z = z) (z = x R) .

Упражнение. Доказать перечисленные утверждения.

1.8. Сходящиеся последовательности комплексных чисел

Здесь мы рассматриваем бесконечные последовательности комплексных чисел. Нашей целью является распространение основных понятий и теорем теории последовательностей вещественных чисел на более общий случай последовательностей комплексных чисел. Последовательность z1 , z2 , … , zk ,..

обозначаем через {zk }, иногда через {zk }∞k =1 .

13

Сформулированное ниже определение вполне аналогично определению предела последовательности вещественных чисел.

Пусть заданы последовательность {zk }, zk C , и комплексное число z0 . Определение 1.Число z0 называют пределом последовательности {zk }, если для любого положительного числа ε существует натуральное число kε такое, что для всякого члена последовательности zk , номер k которого превы-

шает kε , справедливо неравенство zk − z0 < ε .

Если z0 является пределом последовательности {zk }, будем записывать: z0 = lim zk или zk → z0 ; саму последовательность {zk } при этом будем называть сходящейся последовательностью. Будем также говорить, что последователь-

ра k которых больше kε , удовлетворяют неравенству zk −z0 < ε, т.е. zk U z 0 (ε) при k > kε . Следовательно, круг U a (ε) содержит бесконечное множество членов последовательности, вне этого круга могут оказаться лишь z1 , z2 , … , zk ε .

Сказанное справедливо при любом ε >0 , каким бы малым это число ни было.

рии последовательностей вещественных чисел. То обстоятельство, что здесь q – комплексное число, не вносит никаких изменений в изложение указанного примера.

Теорема 2 позволяет, опираясь на основные теоремы о пределах последовательностей вещественных чисел, получить аналогичные теоремы в комплексном варианте. Приведем примеры таких доказательств.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность {zk }, zk C , имеет только

ствиях с последовательностями вещественных чисел, x k +uk → x0 +u0 . Аналогично получим: yk +vk → y0 +v0 . Отсюда и из теоремы 2 вытекает:

(xk +uk ) +i ( yk +vk ) →(x0 +u0 ) +i ( y0 +v0 ) , т.е. zk +wk → z0 +w0 .

Доказательства утверждений 2) и 3) аналогичны.

Определение 2. Последовательность {zk } назовем фундаментальной последовательностью, если для любого ε > 0 можно указать натуральное kε

15

такое, что для любых натуральных n и m, больших, чем kε , справедливо

неравенство | zn −zm |< ε .

Теорема 5 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {zk } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной последовательностью.

В доказательстве этой теоремы мы считаем, что для последовательностей вещественных чисел аналогичная теорема установлена.

Необходимость. Обозначим: x k = Re zk , yk = Im zk . Пусть {zk } - сходящаяся последовательность. Тогда последовательности вещественных чисел {xk }и {yk }также сходятся ( см. теорему 2) и потому являются фундаменталь-

Следовательно, {zk }- фундаментальная последовательность. Достаточность. Пусть {zk } – фундаментальная последовательность.

Зададим ε > 0. Найдется kε N такое, что

n N m N ((n > kε) (m > kε) | zn −zm |< ε ).

Но | x n −x m | ≤| zn −zm | . Значит,

n N m N ((n > kε) (m > kε) | x n − x m |< ε ).

Здесь ε – произвольное положительное число, следовательно, последовательность { x k } является фундаментальной последовательностью вещественных чисел, и потому она сходится. Аналогично можно доказать, что и { yk } – сходящаяся последовательность. Так как { x k } и { yk } сходятся, то по теореме 2 сходится и {zk }.

Замечание. Заведомо нельзя перенести на комплексный случай те теоремы о последовательностях вещественных чисел, формулировки которых содержат неравенства (например, нельзя сформулировать аналог теоремы о предельном переходе в неравенстве). Причина состоит в том, что для комплексных чисел не определены отношения “больше” или “меньше”.

Теорема 6. Пусть задано z C , пусть x = R e z , y = Im z . Для каждого

равен числу ex (cos y +i sin y ) .

16

Пусть z C , z ≠ 0 . Запишем это число в тригонометрической форме:

вают показательной формой комплексного числа z.

Из формул пунктов 1.5 и 1.6 вытекают правила умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из комплексных чисел, записанных в показательной форме.

этих чисел только одно вещественное: w0 = 0 .

Пример 8. Пусть z = x < 0 . Тогда r = −x , ϕ = π . Каждое из чисел

18

wk = ln (−x ) +i (π +2kπ) , k Z ,

является логарифмом отрицательного числа x. Среди этих чисел нет вещественных. Известное утверждение щкольной алгебры “отрицательные числа не имеют логарифмов” теперь следует понимать так: логарифмы отрицательных чисел не имеют вещественных значений.

§ 2. Алгебраические многочлены

2.1. Корень алгебраического многочлена и его кратность

Пусть n – заданное натуральное число, а p0 , p1 , … , pn – заданные

комплексные числа. Выражение

p0zn + p1zn−1 +K+ pn−1z + pn ,

где z С назовем алгебраическим многочленом степени не выше n и обо-

некоторое комплексное число. Поделим Pn (z ) на двучлен z – a. Результат запишем в виде равенства Pn (z) = Tn−1 (z)(z − a) + S , справедливого при всех комплексных z . Здесь Tn−1(z ) - многочлен степени n-1 (частное), а S – число (остататок). Найти Tn−1(z ) и S можно с помощью процедуры деления “уголком”, известной из школьного курса алгебры. Если S =0 , говорят, что Pn (z ) делится на z – a без остатка.

Замечание 1. При делении многочлена Pn (z ) на z – a старший коэффициент частного Tn−1(z ) равен старшему коэффициенту Pn (z ) , т.е. p0 .

Пусть Pn (z ) - некоторый многочлен, a - некоторое комплексное число. Если Pn (a) = 0 , то число a называют корнем алгебраического многочлена Pn (z )

Фундаментальную роль играет следующая теорема, которая принадлежит К. Гауссу и которую обычно называют основной теоремой алгебры.

Теорема 1 (Гаусс). Всякий алгебраический многочлен степени n, n ≥ ≥ 1, имеет хотя бы один корень.

Доказательство этой теоремы средствами теории функций комплексного переменного будет приведено позже .

n

Теорема 2 (Безу). Пусть Pn (z ) = ∑pk zn−k , p0 ≠ 0 , – некоторый многочлен

k =0

степени n, n ≥ 1, и пусть a C – некоторое число. Для того, чтобы a являлось корнем Pn (z ) , необходимо и достаточно, чтобы Pn (z ) без остатка делился на разность z – a

19

Необходимость. Поделив Pn (z ) на z − a , получим:

Pn (z) = = Tn−1 (z)(z − a) + S ,

где S C. Подставим в это равенство z = a: Pn (a) = S ; так как a - корень

пусть a, a C, – корень этого многочлена. Существуют натуральное число

p0 ≠ 0 (см. замечание 1) .

Возможны два случая: Tn−1(a) ≠ 0 и Tn−1(a) = 0 . В первом случае утвер-

ждение теоремы справедливо, так как (15) есть (14) при k = 1. Во втором случае a является корнем Tn−1 (z) и потому Tn−1 (z) делится на z – a без остатка:

Tn−1 (z) = Tn−2 (z)(z − a) , где Tn −2 (z) - многочлен степени n - 2. Подставив в (15), получим:

Возможны два случая: Tn−2 (a) ≠ 0 и Tn−2 (a) = 0 . В первом случае утвер-

ждение теоремы справедливо. так как (16) есть (14) при k = 2. Во втором случае поделим Tn−2 (z ) на z – a: Tn−2 (z ) =Tn−3 (z )(z −a) . Отсюда:

z C Pn (z) = Tn−2 (z)(z − a)2 = Tn−3 (z)(z − a)3 ,

и снова рассматриваем два случая: Tn−3 (a) ≠ 0 и Tn−3 (a) = 0 . Описываемый процесс приводит к построению последовательности многочленов Tn−1(z ) , Tn−2 (z ) , … , Tn−l (z) где каждый последующий многочлен получен делением

предыдущего на разность z – a, причем (см. замечание 1) старший коэффициент каждого из них равен p0 . Так как степень частного на единицу ниже степени делимого, то эта последовательность состоит не более чем из n многочленов, а последний многочлен Tn−l (z) уже не делится на z – a без остатка,

ибо Tn−l (a) ≠ 0 . Завершив построение указанной последовательности, получим:

Замечание 3. Число k в представлении (14) определяется единственным образом. Действительно, допустим, что имеются два таких представле-

20

Число k в представлении (14) называют кратностью корня a. Замечание 4. Число a является корнем кратности k многочлена Pn (z )

тогда и только тогда, когда этот многочлен без остатка делится на (z −a)m при m = 1, 2, … , k и не делится на (z −a)m при m > k.

Это утверждение легко следует из (14).

Если кратность корня a многочлена Pn (z ) равна единице, его называют простым корнем этого многочлена.

2.2 Разложение многочлена на линейные множители

Теорема 3. (О разложении многочлена на линейные множители)

причем Tn−k 1 (a1 ) ≠ 0 . Возможны два случая: k 1 = n и k 1 < n . В первом случае справедливо представление (см. (17) ): z C Pn (z ) = p0 (z −a1 )n , т.е., справедливо (18) при m=1. Во втором случае степень Tn−k 1 (z ) не меньше единицы, и

по теореме Гаусса существует корень этого многочлена.

Пусть a2 - корень Tn−k 1 (z ) , а k2 - кратность этого корня. Очевидно, a2 ≠ a1 .

Pn (z ) имеет два корня a1 и a2 , и (18) справедливо при m =2. Во втором случае

21

во втором – существует корень a4 многочлена Tn−k 1−k 2 −k 3 (z ) , и рассужения

можно продолжить. Конечным их результатом и будет представление (18), сумма кратностей в котором равна n. Так как кратность всякого корня – натуральное число, а сумма кратностей равна n, то количество попарно различных корней многочлена не может превышать n.

Представление (18) называют разложением многочлена Pn (z ) на линейные множители.

Замечание 5. Если a1 , a2 , … , am - все попарно различные корни многочлена Pn (z ) , то сумма их кратностей равна степени многочлена. Этот результат часто формулируют так: всякий алгебраический многочлен степени n, n ≥ 1, имеет ровно n корней с учетом их кратностей (т.е. если каждый корень учитывать столько раз, какова его кратность).

Пример . Пусть P5 (z ) = z5 +z4 +2z3 +2z2 +z +1. Прямой подстановкой z = −1 нетрудно убедиться, что это число является корнем P5 (z ) . Значит, P5 (z ) делится на разность z −(−1) = z +1 . Произведя деление, получим:

P5 (z) = (z 4 + 2z 2 +1)(z +1) = (z 2 +1)2 (z +1) = (z +1)((z −i)(z +i))2 .

Таким образом, P5 (z ) имеет три различных корня: простой корень –1 и кор-

ни ±i, кратность каждого из которых равна 2. Представление (18) для него выглядит так: P5 (z) = (z +1)(z −i)2 (z +i)2