Матан_2 / Рыжаков И.Ю. Комплексные числа. Алгебраические многочлены и дроби

§ 1. Комплексные числа

1.1 Множество C комплексных чисел

Введем традиционные обозначения: R – множество вещественных чисел, R 2 - совокупность всевозможных упорядоченных пар (x, y) вещественных чисел. Произвольный элемент (x, y) множества R 2 обозначим через z:

Введем две операции, одну их которых назовем сложением элементов из R 2 , а другую – умножением этих элементов. Каждая из них представляет собой правило, в силу которого любой упорядоченной паре (z1 , z2 ) элемен-

тов из R 2 ставится в соответствие некоторый третий элемент этого множества.

Элемент, который паре (z1 , z2 ) сопоставляет операция сложения, назовем суммой элементов z1 и z2 и обозначим через z1 + z2 .

Элемент, который паре (z1 , z2 ) сопоставляет операция умножения, назовем произведением элементов z1 и z2 и обозначим через z1 z2 или z1z2 .

Сумму и произведение элементов z1 = ( x 1, y1 ) и z2 = (x2, y2 ) определим с помощью следующих равенств:

умножения называют множеством комплексных чисел и традиционно обозначают буквой C. Элементы множества C называют комплексными числами. Таким образом, комплексное число z C, представляет собой упорядоченную пару вещественных чисел: z = (x, y ) . Первое число x пары (x, y ) называют вещественной частью комплексного числа z и обозначают через Re z , второе число y этой пары называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают через Im z .

Таким образом, в рассматриваемом случае сложение и умножение комплексных чисел z1 и z2 сводится к сложению и умножению их вещественных

частей. Это обстоятельство позволяет трактовать комплексное число вида как вещественное число x, т.е., считать, что z = (x,0) = x. Особо отметим равенство (0,0) = 0 , а также справедливость следующего утверждения: пусть z = (x, y ) ; равенство z = 0 имеет место тогда и только тогда, когда х= 0 и у= 0 . Комплексное число z = (x, y ) , мнимая часть y которого отлична от нуля, называют мнимым. Следовательно, всякое комплексное число является либо

3

вещественным, либо мнимым.

Нетрудно убедиться, что введенные равенствами (1) операции обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения веществен-

Эти аналогии объясняют наименования операций, введенных равенствами (1) над комплексными числами – сложение и умножение.

ксных чисел, саму плоскость считают интерпретацией множества С и называют комплексной плоскостью. Изображениями комплексных чисел вида ( x, 0) , т.е., вещественных чисел, будут точки оси абсцисс, поэтому ее называют вещественной осью комплексной плоскости. Мнимые числа вида (0, y ) , y ≠ 0 , изображаются точками оси ординат; эту ось называют мнимой осью комплексной плоскости (рис. 1).

Другая возможная геометрическая интерпретация комплексного числа z = (x, y ) состоит в том, что его изображают вектором, проекции которого на вещественную и мнимую оси есть x и y соответственно. В частности, в качестве изображения числа z = (x, y ) может выступать радиус-вектор точки с абсциссой x и ординатой y ( рис. 1). Такой взгляд на комплексное число удобен в ряде случаев, например, при геометрической интерпретации действий сложения и вычитания комплексных чисел (см. ниже).

1.2. Алгебраическая форма комплексного числа.

Среди комплексных чисел особая роль принадлежит мнимому числу (0,1) . Его называют мнимой единицей и обозначают обычно буквой i : i = =(0,1) . Это название связано с равенством i 2 = −1. Действительно, вычислив

Пусть z = (x, y ) – некоторое комплексное число. Используя (1), нетрудно убедиться в справедливости равенства z =(x , 0) + (0 ,1) ( y , 0) . Но (x, 0) = x ,

( y, 0) = y , (0,1) = i ; поэтому равенство можно переписать так: z = x +iy . Правую часть последнего равенства называют алгебраической формой комплекс-

4

ного числа z = (x, y ) .

Пусть заданы комплексные числа z1 = ( x 1, y1 ) и z2 = (x2, y2 ) . Из равенств

(1) вытекают правила сложения и умножения комплексных чисел, записан-

Отметим три свойства этих действий. Они дополняют свойства 1 – 3, указанные в п. 1.1 и тоже вполне аналогичны соответствующим свойствам действий над вещественными числами.

4. z C 0 z = 0 , 1 z = z .

Запишем числа 0 и z в алгебраической форме: 0 = 0 +i 0 , z = x +iy . Из (1) получим: 0 z = (0 x −0 y ) +i (0 y + x 0) = 0 +i 0 = 0 . Доказательство второго равенства аналогично.

Необходимость. Пусть z1 z2 = 0 . Покажем, что если один из

множителей отличен нуля, то другой должен равняться нулю. Пусть, например, z1 ≠ 0 ; покажем, что тогда z2 = 0 . Действительно, запишем эти

числа в алгебраической форме: z1 = x 1 +iy1 , z2 = x2 +iy2 . Из (1) имеем:

x 1x2 − y1 y2 = 0 и x 1 y2 + x2 y1 = 0 . Отсюда следует, что числа x2 и y2 удовлетворяют однородной системе

ax + by = 0,

cx + dy = 0,

где a = d = x 1 , c = −b = y1 . Определитель ∆ этой системы отличен от нуля: так как x 1 ≠ 0 y1 ≠ 0 , то ∆ = ad −bc = x12 + y12 > 0 . Значит, система имеет только нуле-

либо z1 = z2 = 0 .

Достаточность очевидна в силу свойства 4. 6. Пусть z1 и z2 – комплексные числа. Тогда

(z1 +z2 = 0) (z2 = (−1)z1 ) .

Пусть z1 = x 1 +iy1 , z2 = x2 +iy2 . Тогда

(z1 + z2 = 0) (x 1 + x 2 = 0) ( y1 + y2 = 0) (x2 = −x1 ) ( y2 = −y1 ) .

Отсюда:

(z1 + z2 = 0) (z2 = (−x1 ) +i (−y1 ) = (−1) z1 ).

Пусть z C. Число (–1) z обозначают через –z и называют числом, противоположным z. Из свойства 6 следует: сумма числа z и числа противоположного z равна нулю: z C z + (–z) = 0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сло-

5

является вещественным и притом положительным числом, в силу чего сумма λz1 +λz2 равна сумме вещественных частей слагаемых λz1 и λz2 :

λz1 +λz2 = a +b, где a = R e (λz1 ) , b = Re(λz2 ) .

Так как λz1 +λz2 >0 , можем записать: λz1 +λz2 = a +b =| a +b | ≤| a | +| b | ; эдесь заключительное неравенство вытекает из свойств абсолютной величины вещественных чисел. Из свойств 2 и 3 модуля следует:

Это неравенство очевидно, если |z1|=|z2 | . Пусть |z1|>|z2 | ; тогда

Замечание 2. Неравенство | z1 +z2 | ≤ | z1 | + | z2 | назывют неравенством тре-

8

угольника, поскольку на него можно смотреть как на неравенство, связывающее длины сторон треугольника, вершинами которого являются точки 0 , z1 и z2 +z1 ( рис. 2).

Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать обобщение неравенства треугольника: пусть z1 , z2 , … , zn – заданные комп-

1.4. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа

Аргументом комплексного числа z, z ≠ 0 , называют вещественное число ϕ такое, что

чаются одно от другого слагаемым, кратным 2π. В дальнейшем через arg z мы обозначаем какое-либо одно из значений аргумента числа z. Равенство ϕ = arg z означает, что число ϕ есть одно из значений аргумента числа z.

да такое число называют главным значением аргумента z.

Геометрически число ϕ , удовлетворяющее условиям (1), является, очевидно, углом между положительным направлением вещественной оси и вектором z . Если ϕ > 0 , угол отсчитывается от вещественной оси против часовой стрелки, если же ϕ < 0 – угол отсчитывается по часовой стрелке (рис.3).

Пусть z = ( x, y ) = x +iy – отличное от нуля комплексное число, ϕ = arg z , r = |z | . Учитывая равенства (5), можем записать:

числа z.

Пример 3. Найдём тригонометрическую форму числа z = −3 +i 3 .

9

Последнее выражение уже является тригонометрической формой z. Найдём arg z .Равенства (5) в рассматриваемом случае выглядят так:

1.5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных

в тригонометрической форме

Пусть отличные от нуля комплексные числа z1 и z2 записаны в тригонометрической форме:

| z1z2 | = | z1 | | z2 | = r1 r2 ; кроме того,

(cosϕ1 +i sinϕ1 )(cosϕ2 +i sinϕ2 ) = (cosϕ1 cosϕ2 −sinϕ1 sinϕ2 ) +

+i(cosϕ1 sin ϕ2 +sin ϕ1 cosϕ2 ) = cos(ϕ1 +ϕ2 ) +i sin(ϕ1 +ϕ2 ) .

Отсюда:

причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой

числа z1z2 .

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (точнее: сложив аргументы сомножителей, мы получим одно из значений arg (z1z2 ) ). Геометрически умножение числа z1 на

число z2 сводится к повороту вектора z1 на угол arg z2 и к изменению длины этого вектора в | z2 | раз.

Используя (7), с помощью метода математической индукции нетрудно установить справедливость следующего утверждения: пусть z1 , z2 , … , zn ,

где z = z1 z2 Kzn , ρ = r1 r2 Krn , ψ = ϕ1 +ϕ2 +K+ϕn , т.е. при перемножении n, n≥2, комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Упражнение. Доказать равенство (8).

Найдем частное z2 , где z1 и z2 заданы равенствами (6). Заметим (см. z1

10