11.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области D – проекции поверхности S на плоскость Oxy.

Разобьем поверхностьS на части S_i, Обозначим через проекциюS на поверхность Oxy. При этом область D окажется разбитой на n частей Возьмем впроизвольную точкуP_i(x_i;y_i) и восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy до пресечения с поверхностью S. Получим точку M_i(x_i;y_i;z_i) на поверхности S_i. Проведем в точке M_i касательную плоскость и рассмотри ту ее часть T_i, которая на плоскость Oxy проектируется в область (см. рис. 15). Площади элементарных частейS_i, T_i и обозначим как,исоответственно. Будем приближенно считать, что

(11.3)

Обозначив через острый угол между осьюOz и нормалью к поверхности в точкеM_i получаем:

(11.4)

(область есть проекцияT_i на плоскость Oxy).

Рис. 15. Если поверхность S задана уравнением z = z(x;y), то, как известно, уравнение касательной плоскости в точке M_i есть, гдеи , -1 – координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол есть угол между векторамииСледовательно,

Равенство (11.4) принимает вид

В правой части формулы (11.2) заменим (учитывая (11.3)) на полученное выражение для, аz_i заменим на z(x_i;y_i). Поэтому переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра S_i (а следовательно, и ), получаем формулу

(11.15)

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость Oxy.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида y = y(x;z) или x = x(y;z), то аналогично получим:

и

(11.6)

где D₁ и D₂ – проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно.

Пример 11.1. Вычислить гдеS часть плоскости , расположенной вI октане (см. рис. 16).

Решение: Запишем уравнение плоскости в виде НаходимПо формуле (11.5) имеем:

Рис.16.

Пример 11.2. Вычислить

где S – часть цилиндрической поверхности отсеченной плоскостямиz = 0, z = 2 (см. рис. 17).

Решение: Воспользуемся формулой (11.6). Поскольку ,то

Рис. 17. гдеD₁ – прямоугольник AA₁B₁B.

11.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z(x;y), а ее проекция на плоскость Oxy есть область D, в которой z(x;y), и- непрерывные функции, то ее площадьS вычисляется по формуле

или

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления мас­сы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы . Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой обла­сти деления, упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть . Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность S на n частей S_i, i = 1, 2, …, n, площадь которой обозначим

2. Берем произвольную точку M_i(x_i;y_i;z_i) в каждой области S_i. Предполагаем, что в пределах области S_i плотность постоянна и равна значению ее в точке M_i.

3. Масса m_i области D_i мало отличается от массы фиктивной однородной области с постоянной плотностью.

4. Суммируя m_i по всей область, получаем:

5. За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей S_i, т.е.

т.е.

(11.7)

Моменты, центр тяжести поверхности

Статические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:

Пример 11.3. Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точке от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.

Решение: На рисунке 18 изображена полусфера радиусом R. Её уравнение - поверхностная плотность полусферы.

Рис. 18. По формуле (11.7) находим:

Переходим к полярным координатам:

Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки