10.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры

ПлощадьS плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

(10.17)

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (10.8) P(x;y) = 0, Q(x;y) = x, получим:

или

(10.18)

Аналогично, полагая P = -y, Q = 0, найдем еще одну формулу для вычисления площади с помощью криволинейного интеграла:

(10.19)

Сложив почленно равенства (10.18) и (10.19) и разделив на два, получим:

Формула (10.17) используется чаще, чем формулы (10.18) и (10.19).

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участкеAB находится по формуле

(10.20)

Действительно, пусть материальная точка (х;у) под действием переменной силы перемещается в плоскостиОху по некоторой кривой АВ (от точки А до точки В).

Разобьем кривуюАВ точками наn «элементарных» дуг M_i-1M_i длины и в каждой из них возьмем произвольную точку (см. рис. 12). Заменим каждую дугуM_i-1M_i вектором , а силубудем считать постоянной на векторе перемещенияи равной заданной силе в точкеC_i дуги M_i-1M_i:

Тогда скалярное произведение можно рассматри-

Рис.12. вать как приближенное значение работы вдоль дугиM_i-1M_i:

Приближенное значение работы A силы на всей кривой составит величину

За точное значение работы А примем предел полученной суммы при (тогда, очевидно,и):

Замечание. В случае пространственной кривой AB имеем:

Пример 10.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от 0 до (см. рис. 13).

Применяя формулы (10.17) и (10.1), получим:

Пример 10.7. Найти работу силы вдоль кривойy = x³ от точки O(0;0) до точки B(1;1).

Решение: По формуле (10.20) находим:

Рис. 13.

§11. Поверхностный интеграл I рода

11.1. Основные понятия

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхностиS, с площадью S, пространства Oxyz определена непрерывная функция f(x;y;z). Разобьем поверхность S на n частей S_i, площади которых обозначим через (см. рис. 14), а диаметры – черезd_i, В каждой части S_i возьмем произвольную точку M_i(x_i;y_i;z_i) и составим сумму

(11.1)

Она называется интегральной для функции f(x;y;z) по поверхности S.

Если при интегральная сумма (11.1) имеет предел, то он называетсяповерхностным интегралом I рода от функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается

Рис. 14. Таким образом, по определению,

(11.2)

Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x;y;z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. гдес – число.

2.

3. Если поверхность S разбита на части S₁ и S₂ такие, что , а пересечениеS₁ и S₂ состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4. Если на поверхности S выполнено неравенство то

5. , гдеS площадь поверхности S.

6.

7. Если f(x;y;z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка (x_c;y_c;z_c) такая, что

(теорема о среднем значении).