10.3. Формула Остроградского – Грина

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатными осями не более чем в двух точках, т.е. область D – правильная.

Теорема 10.2. Если функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными ив областиD, то имеет место формула

(10.8)

где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).

Формула (10.8) называется формулой Остроградского – Грина.

Пусть- уравнение дугиAnB, а - уравнение дугиAmB (см. рис. 8). Найдем сначала .По правилу вычисления двойного интеграла, имеем:

Или согласно формуле (10.6), Рис. 8.

(10.9)

Аналогично доказывается, что (10.10)

Если из равенства (10.10) вычесть равенство (10.9), то получим формулу (10.8).

Замечание. Формула (10.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 10.3. С помощью формулы Остроградского – Грина вычислить

где L – контур прямоугольника с вершинами А(3;2), В(6;2), С(6;4), D(3;4).

○ Решение: На рисунке 9 изображен контур интегрирования. Поскольку по формуле (10.8) имеем:

Рис. 9.

10.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

ПустьA(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) – две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (плоскость D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 10 это L₁, L₂ и L₃). По каждой из этих кривых интеграл имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования.

Рис. 10. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку A(x₁;y₁) и его конечную точку B(x₂;y₂) пути. Записывают:

(10.11)

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?

Теорема 10.3. Для того, что бы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной областиD, в которой функции P(x;y), Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, что бы в каждой точке этой области выполнялось условие=(10.12)

Докажем достаточность условия (10.12). Рассмотрим произвольный замкнутый круг AmBnA (или L) в области D (см. рис. 11). Для него имеет место формула Остроградского – Грина (10.8) В силу условия (10.12) имеем: , или. Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

, т.е.

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.

Рис.11. В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие =, то интеграл по замкнутому кругу равен нулю:

Верно и обратное утверждение.

Следствие 10.1. Если выполняется условие (10.12), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функцииu = u(x;y), т.е.

(10.13)

Тогда (см. (10.11))

, т.е.

(10.14)

Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 10.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то .

Замечания:

1. Что бы не спутать переменную интегрирования x с верхним пределом x, переменную интегрирования обозначают другой буквой (например, t, и др.).

2. 2. Функцию U = U(x;y), удовлетворяющую условию (10.12), можно найти, используя формулу: . (10.15)

В качестве начальной точки (x₀;y₀) обычно берут точку (0;0) – начало координат (см. пример 10.5).

3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла по пространственной кривой. Условие (10.12), равенство (10.13), формулы (10.14) и (10.15) имеют соответственно вид:

= ,=,=;

,

.

Пример 10.4. Найти

Решение: Здесь P = y, Q = x, ==1. Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой y = x, дугу параболы y = x² и т. д. или воспользоваться формулой (10.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то

Пример 10.5. Убедиться, что выражение представляет собой полный дифференциал функцииU (x;y) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (10.12):

- условия выполнены, следовательно, А так как полный дифференциал имеет вид

,

то верны соотношения

(10.16)

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянно интегрирования следует поставить - неизвестную функцию зависящую только оту:

Подставляя полученное выражение во второе уравнение (10.16), найдем :

Таким образом,

Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (10.15):