9.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длинаl кривой AB плоской или пространственной линии вычисляется по формуле .

Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая AB, лежащая в плоскости Oxy, а образующая параллельна оси Oz (см. рис.3), то площадь поверхности задаваемой функцией z = f(x;y), находится по формуле .

Масса кривой

Рис. 3.

Масса материальной кривой AB (провод, цепь, трос, …) определяется формулой ,плоскость кривой в точкеM.

Разобьем кривую AB на n элементарных дуг M_i-1M_i (i = ). Пусть – произвольная точка дуги M_i-1M_i. Считая приближенно участок дуги однородным, т.е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке, найдем приближенное значение массы m_i дуги M_i-1M_i:

.

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

, (9.7)

За массу кривой AB примем предел суммы (9.7) при условии, что , т.е.

или, согласно формуле (9.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая AB гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке AB функцией).

Статические моменты, цент тяжести

Статические моменты относительно осей Ox и Oy и координаты центра тяжести материальной кривой AB определяются по формулам

.

Момент инерции

Для материальной кривой AB моменты I_x, I_y, I_O инерции относительно осей Ox, Oy и начала координат соответственно равны:

, ,

Пример 9.3. Найти центр тяжести полуокружности x² + y² = R², лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой .

Решение: Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси Oy (см. рис. 4). Поэтому x_c = 0. Ордината центра тяжести

Знаменатель дроби – длинна полуокружности. Поэтому

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями Рис. 4.

окружности Имеем:

.

Следовательно, . Итак,x_c = 0, .

§10. Криволинейный интеграл II рода

10.1. Основные понятия

Решение задач о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти также как и интеграл I рода.

Пусть в плоскости Oxy задана непрерывная кривая AB (или L) и функция P(x;y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую AB точками M₀ = A, M₁, … M_n = B в направлении от точки A к точке B на n дуг M_i-1M_i с длинами Δl_i (i = 1, 2, …, n).

На каждой «элементарной дуге» M_i-1M_i возьмем точку и составим сумму вида

, (10.1)

где Δx_i = x_i – x_i-1 – проекция дуги M_i-1M_i на ось Ox. (см. рис. 5).

Сумму (9.1) называют интегральной суммой для функции P(x;y) по переменной x.Таких сумм можно составить бесконечное множество. (Отличие сумм (9.1) и (10.1) очевидно).

Если при интегральная сумма (10.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривойAB, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P(x;y) по кривой AB и обозначают или. Рис. 5.

Итак,.

Аналогично вводиться криволинейный интеграл от функции Q(x;y) по координате y:

,

где Δy_i – проекция дуги M_i-1M_i на ось Oy.

Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством .

Криволинейный интеграл по пространственной кривойL определяется аналогично.

Терема 10.1. Если кривая AB гладкая, а функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывные на кривой AB, то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования интеграл II Рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

(проекция дуги M_i-1M_i на оси Ox и Oy меняют знак с изменением направления).

2. Если кривая АВ с точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по все кривой равен сумме интегралов по частям, т.е.

.

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

(все );

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

(все ).

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Действительно,(см. рис. 6).

С другой стороны, . Таким образом,

.

10.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода Рис. 6.

Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I первого рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = x(t) и y = y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе мо своими производными x’(t) и y’(t) на отрезке [α;β], причем начальной точке А – кривой соответствует значение параметра t = α, а конечной точке В – значение t = β. И пусть функция P(x;y) непрерывна на кривой АВ. Тогда по определению,

.

Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как , то по формуле Лангража имеем:, где,

Выберем точку так, чтобы Тогда преобразованная интегральная суммабудет интегральной суммой для функции одной переменнойна промежутке [α;β]. Поэтому

(10.2)

Аналогично получаем:

(10.3)

Складывая почленно полученные равенства (10.2) и (10.3), получаем

(10.4)

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением y = φ(x), , где функцияφ(x) и ее производная φ’(x) непрерывна на отрезке [a;b], то из формулы (10.4), приняв x за параметр, имеем параметрические уравнения кривой АВ: x = x, y = φ(x), , откуда получим:

. (10.5)

В частности, (10.6)

Если АВ – гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезке [α;β] функциями x = x(t), y = y(t) и z = z(t), то криволинейный интеграл

вычисляется по формуле

(10.7)

Замечание:Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотношением , гдеα и β – углы, образованные касательной к кривой АВ в точке M(x;y) с осями Ox и Oy соответственно.

Пример 10.1. Вычислить - ломанная криваяОАВ, где О(0;0), А(2;0), В(4;2).

Решение: Так как L = OAB = OA + AB (см. рис. 7), то

Уравнение отрезка ОА есть y = 0, ; уравнение отрезкаАВ: y = x-2, . Согласно формуле (10.5), имеем: Рис.7.

Пример10.2. Вычислить - отрезок прямой в пространстве от точкиА(1;0;2) до точки В(3;1;4).

Решение: Составим уравнение прямой проходящей через точки А и В: или в параметрической формеx = 2t + 1, y = t, z = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (10.7) находим, что