Матан_2 / Векторные функции

= . По условию теоремы и дифференцируемы в точке t₀ ; значит (см. следствие 3 теоремы 8), в этой точке дифференцируемы их координатные функции. Отсюда вы-текает дифференцируемость в точке t₀ функций = ,= = и =, которые являются коорди- натными функциями вектор-функции . Следовательно (см. следствие 3 теоремы 8), дифференцируема в точке t₀ . Значит, существует производная, причём ( см. теорему 7) = (,). Вычислив производные , , получим:

=( ) + () = = [,] + [,] . ◄

Теорема 10. (О производной сложной вектор-функции) Пусть скалярная функ- ция определена в окрестности , t₀, а вектор-функция определена в окрестности точки = . Если дифференцируема в точке , а дифференцируема в точке t₀ , то сложная вектор-функция дифференци- руема в точке t₀ , причём .

► Пусть x(θ), y(θ) и z(θ) – координатные функции : = (x(θ), y(θ) ,z(θ)). Заметим: =( ). Так как дифференцируема в точке , то в этой точке дифференцируемы её координатные функции ( см. следствие 3 теоремы 8). По теореме о производной сложной скалярной функции суперпозиции дифференцируемы в точке t_{0 ,} причём

. Теперь можем записать:

( ) = ( ) =

= ( = . ◄

Определение. Будем говорить, что вектор-функция дифференцируема на интервале (α , β) , если она дифференцируема в каждой его точке. Будем говорить, что вектор-функция дифференцируема на сегменте [α , β] , если она дифференцируе- ма в каждой точке интервалa (α , β) и, кроме того, существуют односторонние произ- водные и .

Теорема 10. Пусть вектор-функция удовлетворяет на интервале (α , β) ус- ловию: , где С≥ 0. Если дифференцируема на интервале (α , β), то при всяком скалярное произведение (,) равно нулю.

► Рассмотрим скалярную функцию f(t), заданную на (α , β) равенством: f(t) = (,) = . Очевидно, f(t) на (α , β), и потому на (α , β). Но (,) = (,) + (,)= 2 (,). Отсюда:

2 (,) на (α , β). ◄

Замечание. Если при соблюдении условий этой теоремы оба вектора и ненулевые, то они ортогональны.

п. 6 Дифференциал вектор-функции

Пусть вектор-функция дифференцируема в точке t₀ , t₀.

Определение. Дифференциалом вектор-функции в точке t₀ назовём произ- ведение h, где h = Δt – приращение аргумента t.

Обозначать дифференциал будем символами dили d, подчеркнув во вто- ром символе то обстоятельство, что дифференциал представляет собой вектор-функ- цию аргумента h , определённую на всей числовой оси равенством d =h или, так как приращение h = Δt независимой переменной t равно дифференциалу d t, равенством d =d t. Заметим ещё, что формулу (4) теперь можно записать в виде:

Δ(τ) = d +.

Из утверждений теоремы 9 вытекают следующие правила вычисления диффе- ренциалов в точке : Если +; ; (, ) и [, ] , то

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Иэ теоремы 10 вытекает инвариантность формы дифференциала вектор-функ- ции. Действительно, пусть - скалярная функция, дифференцируемая в точке , а дифференцируема в точке t₀ , где .Тогда сложная вектор-функ- ция дифференцируема в точке , причём . Отсюда, так как , получим: . Таким обра- зом, формула справедлива и в том случае, когда аргумент вектор-функ- ции является зависимой переменной.

п. 7. Производные высших порядков вектор функции

11