Матан_2 / Векторные функции

Δ(h) = -= (x(t₀+h )- x(t₀), y(t₀+h )- y(t₀), z( t₀+h) - z(t₀)) =

= (

По теореме о покоординатной сходимости

( ) (, , ). Отсюда и из теоремы 5 вытекает справедливость утверждений теоремы 6, так как по теореме о приращении непрерывной скалярной функции равенства , , представляют собой необходимые и достаточные условия непрерывности в точке t₀ соответствующих координатных функций ◄

Определение. Вектор-функцию назовем непрерывной на интервале (α,β) , если она непрерывна в каждой его точке. Вектор-функцию назовём непрерывной на сегменте [α,β] , если она непрерывна на интервале (α,β) и, кроме того, непрерывна в точке α справа ( т.е. ) и непрерывна в точке β слева ( т.е. ).

п.4. Производная вектор-функции

Пусть вектор-функция определена в окрестности точки t₀ , т.е. на не- котором интервале (α,β), , и пусть t принадлежит этой окрестности, но не совпадает с t₀. Составим проиэведение скалярного множителя на вектор разности -: . Заметим, что это произведение представляет собой век- тор-функцию, определённую в проколотой окрестности точки t₀ , и потому можно ста- вить вопрос о существовании её предела при . В дальнейшем выражение будем записывать в виде дроби: .

Определение. Если существует , то этот вектор называют произ- водной вектор-функции в точке t₀ .

Производную вектор-функции в точке t₀ обозначают символами и . Таким образом,

Используя введённые в п.3 обозначения, можем записать:

===.

Установим связь между производной вектор-функции и производными её координатных функций.

Теорема 7. (Критерий существования производной) Пусть вектор-функция определена в окрестности . t_0­­, а x(t), y(t) и z(t) – её координатные функции. Тогда:

1) для того, чтобы существовала производная необходимо и достаточно, чтобы существовали производные и ;

2) если производные и существуют, то

=(,)

► Так как -= (x(t)- x(t₀), y(t)- y(t₀), z(t) - z(t₀)), то

=.

1) Необходимость. Пусть существует: . По тео- реме о покоординатной сходимости координаты вектора являются пределами при соответствующих координатных функций , , вектор-функции . Значит, каждая из дробей , , имеет при конечный предел, т. е. производные и существуют.

Достаточность. Пусть существуют и , т.е. дроби , и имеют при пределами числа и соответственно. Тогда из теоремы о покоординатной сходимости следует, что существует предел при вектор-функции , причём эти числа являются его координатами, т.е. существует, причём

=(,) ,

2) Это утверждение уже доказано, см. Достаточность. ◄

п.5. Дифференцируемые вектор-функции

Пусть вектор-функция определена в окрестности . t_0­­, а α₁(t), α₂(t) и α₃(t) – её координатные функции, и пусть μ – положительное число.

Определение. Если , будем говорить, что при вектор-функция есть “о малое” от и при этом записывать: = ().

Замечание. Символ “o” был введен ранее для скалярных функций. Так как ( см. Замечание к теореме 1). а - скалярная функция, то справедливо следующее утверждение: при вектор-функция есть “о малое” от тогда и только тогда, когда её длина при есть “о малое” от .

Лемма. Пусть вектор-функция определена в окрестности . t_0­­, а α₁(t), α₂(t) и α₃(t) – её координатные функции. Чтобы при вектор-функция была “о малым” от , необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обла- дала каждая из её координатных функций:

= () .

► Имеем: . По теореме о покоординат- ной сходимости

. ◄

Определение. Вектор-функцию назовём дифференцируемой в точке t₀ , если она определена в некоторой окрестности этой точки, и существует вектор та- кой, что для приращения Δ(h) справедливо асимптотическое представление:

Δ(h) = h + (3) Здесь , Δ(h) = -= -, а - некоторая вектор-функ- ция такая, что .

Теорема 8. (Критерий дифференцируемости) Пусть вектор-функция определена в окрестности . t₀. Чтобы была дифференцируемой в точке t₀ , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная .

► Необходимость. Пусть дифференцируема в точке t₀ . Заменив в форму- ле (3) на получим: -= + +(). Отсюда:

и .+. Так как =, то , т.е. производная существует и равна .

Достаточность. _­­,Пусть существует и пусть. x(t), y(t) и z(t) – координат- ные функции Тогда по теореме 6 существуют производные и . Значит, эти скалярные функции дифференцируемы в точке t₀; поэтому для их прира- щений справедливы представления:

где, , - функции, удовлетворяющие условиям:

Отсюда:

-= (x(t₀+h)- x(t₀), y(t₀+h)- y(t₀), z(t₀+h) - z(t₀)) =

= ( ) =

= ( ) h + h (, , ) =

= h +h ,

где = (, , ). Ввиду условий, которым удовлетворяют , , , можем записать: . Итак,

-= h +h,

где . Заметим: , т.е. h = . Значит,

Δ(τ) = h +, (4) Получено представление (3), в котором = . ◄

Следствие 1. Вектор в представлении (3) приращения дифференцируемой функции определяется единственным образом, а именно, = .

Этот результат уже получен, см. Необходимость.

Следствие 2. Если вектор-функция дифференцируема в точке , то суще- ствует вектор-функция , удовлетворяющая условиям , и такая, что справедливо представление Δ(τ) = h +h.

Существование уже доказано, см. Достаточность.

Следствие 3. Вектор-функция дифференцируема в точке тогда и толь- ко тогда, когда в этой точке дифференцируемы её координатные функции.

Утверждение следует из доказанной теоремы и теоремы 7.

Замечание. Если вектор-функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке.

Действительно, из (3) следует: ; значит (см. теорему 6) , неп- рерывна в .

Пусть вектор-функции и , а также скалярная функция определе- ны в окрестности точки t₀ . Пусть, далее, -некоторое число, а - некоторый вектор. Введём обозначения:+; ; (, )- - скалярное произведение; [, ] - векторное произведение.

Теорема 9. (О действиях над дифференцируемыми вектор-функциями) Если , идифференцируемы в точке t₀ , то ,,и также диф- ференцируемы в этой точке, причём

1) = +;

2) =+; в частности, если ≡, то = ;

3) (, ) + (,); в частности, если ≡, то (, ).

4) [,] + [,]; в частности, если ≡, то [,].

Доказательства всех четырёх утверждений проводятся по единой схеме. Из- ложим доказательство утверждения 4).

► Пусть , . Тогда [, ]= =