Матан_2 / Векторные функции

ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть Х и Y – два множества, f – отображение Х в Y, т.е. некоторое правило, в силу которого каждому элементу в множестве Y соответствует единственный элемент y = . Элементы множеств Х и Y могут быть любыми математическими обьектами: числами (вещественными или комплексными), векторами, матрицами и т.п. Иногда термину “отображение” предпочитают термин “функция”. В частности, если Х представляет собой некоторое числовое множество, отображение чаще на- зывают функцией аргумента х , . Если при этом элементы множества Y также яв-ляются числами, f называют числовой или скалярной функцией; о таких функциях шла речь в предыдущих параграфах. Если же множество Y состоит из векторов, отоб- ражение называют векторной функцией или, короче, вектор-функцией.

Математическое понятие вектор-функции можно иллюстрировать разнообраз- ными примерами векторных величин, вэятыми из механики, физики и других естест- венных наук. Так, хаотичное броуновское движение малой частицы вызвано тем, что вектор действующей на неё силы (равнодействующей столкновений частицы с молеку- лами жидкости или газа) ежемоментно меняется и по направлению, и по величине. Эту силу можно рассматривать как вектор-функцию, аргументом которой является время.

В этом параграфе изложены основы дифференциального исчисления вектор-функций.

п.1. Вектор-функция и её координатные функции

Пусть Т – некоторое множество вещественных чисел, и пусть на Т определена вектор-функция (t), т.е. сформулировано некоторое правило, согласно которому каж-домуТ соответствует единственный вектор =(t).. Обозначим через x(t), y(t) и z(t) проекции вектора (t) на координатные оси соответственно абсцисс, ординат и ап- пликат декартовой прямоугольной системы координат. Очевидно, x(t), y(t) и z(t) – ска- лярные функции, определенные на множестве Т , причём на Т справедливо разложе- ние вектора (t) по базису, составленному из ортов координатных осей

= (x(t), y(t), z(t) ).

Функции x(t), y(t) и z(t) называют координатными функциями вектор-функции (t). Следовательно, если на множестве Т определена вектор-функция (t), то на Т определена и упорядоченная тройка (x(t), y(t), z(t) ) её координатных (скалярных) функ- ций.

Заметим, что справедливо и обратное: если (x(t), y(t), z(t) ) - упорядоченная тройка каких-то скалярных функций, определенных на Т, то на Т можно определить вектор-функцию(t) с помощью равенства: . Таким образом, задание на каком-либо множестве вектор-функции эквивалентно заданию на этом множестве упорядоченной тройки скалярных функций.

п.2. Предел вектор-функции в точке

Пусть - некоторый вектор, t₀ – вещественное число, и пусть вектор- функция определена в проколотой окрестности точки t₀ ,

Определение. Вектор называют пределом вектор-функции при t, стремя- щемся к t₀ , если для любого ε> 0 можно указать δ>0 такое, что при всех t, принадлежа- щих проколотой δ – окрестности точки t₀ , длина разности векторов и меньше ε. .

Если удовлетворяет условиям этого определения, будем записывать: = ( является пределом при t, стремящемся к t₀ ) или ( стремится к при t, стремящемся к t₀ ).

Итак, равенство по определению означает:

, где |t- t₀ | есть модуль разности чисел, а |- | - длина разности векторов ( см. рис. 1)

Замечание. Обозначим: φ(t) =. Очевидно, φ(t) - скалярная функция, определённая в проколотой окрестности , причём ( см. выше) . Отсюда в силу определения предела скалярной фун- кции на языке «ε-δ» следует: Таким образом, тогда и только тогда, когда длина разности - является бесконечно малой при t t₀ :

. (1)

Теорема 1 устанавливает связь между пределом вектор-функции и пределами её координатных функций

Теорема 1.(О покоординатной сходимости) Пусть вектор-функция опре- делена в проколотой окрестности точки t₀ , t₀ , а x(t), y(t) и z(t) - её координат- ные функции. Пусть, далее, - некоторый вектор, а , его координаты. Вектор является пределом вектор-функции при тогда и только тогда, когда его координаты являются пределами при соответствующих координатных функций:

►Имеем: =() и . Отсюда:

. Подкоренное выражение представляет собой сумму трёх неотрицательных слагаемых; поэтому левая часть этого равенства стремится к нулю при тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых стремится к нулю при , т.е.

( ) , что можно переписать так:

( ) (2) Утверждение теоремы следует из (1) и (2). ◄

Следствие. Если =, то =||. ► = = = || . ◄

Замечание. Если =||, то вовсе не обязательно справедливо равенство =. Вместе с тем, следует отметить справедливость утверждения:

= = 0

- это получается из (1) как частный случай при = .

Опираясь на теорему о покоординатной сходимости можно доказать теоремы о пределах вектор-функций, аналогичные теоремам о пределах скалярных функций.

Теорема 2. (О единственности предела) Если вектор-функция имеет пре- дел при , то только один.

► Допустим, что вектор-функция имеет при при два различных предела: =() и =(). Так как ≠ , то упорядо- ченные тройки их координат не могут совпадать. Пусть, к примеру, ≠. В силу тео- ремы о покоординатной сходимости координатная функция x(t) должна при стремиться и к, и к; но это противоречит теореме о единственности предела ска- лярной функции. ◄

Теорема 3. (О действиях над пределами вектор-функций) Пусть в проколотой окрестности точки t₀ , t₀, определены вектор-функции и и скалярная функция λ(t), и пусть эти функции имеют пределы при : , λ(t) λ . Тогда:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

► Доказательства всех четырёх утверждений проводятся по единой схеме, по- этому достаточно продемонстрировать одно из них . Изложим доказательство утверж- дения 4).

Запишем разложения векторов , , и по базису , составлено- му из ортов координатных осей:

, ,

, . Используя формулу векторной алгебры, запишем разложение вектора векторного про- изведения :

= =

= Из теоремы об арифметических действиях с пределами скалярных функций и теоремы о покоординатной сходимости следует:

;

;

. Опираясь на эти равенства и теорему о покоординатной сходимости, теперь получим:

= = . ◄

Замечание. Для векторов не определены отношения «больше» или «меньше»; утверждение « вектор больше вектора » смысла не имеет. По этой причине среди теорем о вектор-функциях нет аналогов тех теорем о пределах скалярных функций, формулировки которых содержат неравенства, а именно, теоремы о предельном пере- ходе в неравенстве, о стабилизации знака неравенства, о «сжатой» функции.

Пусть вектор-функция определена на интервале (α,β) ,а - некоторый вектор.

Определение. Вектор назовём односторонним пределом вектор-функции при t, стремящемся к α справа (при t, стремящемся к β слева ), если для любого ε> 0 можно указать δ>0 такое, что при всех t, принадлежащих интервалу (α, α + δ) при- надлежащих интервалу () , длина разности - меньше ε.

Пусть вектор-функция определена на интервале (α,β) , а x(t), y(t) и z(t) - её координатные функции. Пусть, далее, - некоторый вектор, а , его координаты. Справедливы утверждения:

;

.

Доказательства этих утверждений нетрудно скопировать с доказательства тео- ремы о покоординатной сходимости .

Теорема 4. (О связи предела вектор-функции с её односторонними пределами)

Пусть вектор-функция определена в проколотой окрестности точки t₀ , t_0,, а - некоторый вектор. Для того, чтобы являлся пределом при , необходимо и достаточно, чтобы этот вектор был односторонним пределом и при t, стремящемся к t₀ слева, и при t, стремящемся к t₀ справа:

( = ) ( = = ) .

►Пусть x(t), y(t) и z(t) - координатные функции вектор-функция , а , -координаты вектора .

Необходимость. Пусть =. По теореме о покоординатной сходимости , , . Отсюда по теореме об односторонних пределах скалярной функции следует: , , . Значит (см. выше), =.

Доказывая Достаточность следует приведенные выше рассуждения располо- жить в обратном порядке. ◄

п.3. Непрерывность вектор-функции

Определение. Вектор-функцию называют непрерывной в точке t₀ , t₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки, а её предел при равен .

Теорема 5. (Критерий непрерывности) Пусть вектор-функция определена в окрестности . t₀. Для того, чтобы была непрерывной в точке t₀, необхо- димо и достаточно, чтобы каждая из её координатных функций была непрерывной в этой точке.

► Пусть x(t), y(t) и z(t) - координатные функции вектор-функции : Обозначим: х₀ = х(t₀), у₀ = y(t₀), z_{0 =} z(t₀) ; тогда . В силу теоремы о покоординатной сходимости

. Отсюда вытекает справедливость утверждений теоремы, так как равенство в левой части есть условие непрерывности вектор-функции в точке t₀, а равенства в правой части – условия непрерывности её координатных функций в той же точке. ◄

Разность t – t­₀ будем называть приращением аргумента t в точке t₀ и обозначать через Δt или h. Заметим: t = t­₀ + Δt= t­₀ + h. Вектор разности -= - = - назовем приращением вектор-функции в точке t₀ и обозначим че- рез Δ или через Δ(h), подчеркнув во втором обозначении зависимость этого векто- ра от приращения h = Δt аргумента t. Заметим: .

Теорема 6 (О приращении непрерывной вектор-функции) Пусть вектор-функция определена в окрестности . t₀. Для того, чтобы была непрерывной в точке t₀, необходимо и достаточно, чтобы её приращение было бесконечно малым при : .

►Пусть , х₀ = х(t₀), у₀ = y(t₀), z₀ = z(t₀) ; тогда -= (x(t)- x(t₀), y(t)- y(t₀), z(t) - z(t₀)), т.е.