§3. Рациональные алгебраические дроби

Все алгебраические многочлены, рассматриваемые в этом параграфе, являются вещественными многочленами, т.е. их коэффициенты – веществен- ные числа. Вещественный многочлен ,, при веществен- ныхx принимает вещественные значения. Заметим, что такой многочлен может иметь как вещественные, так и мнимые корни.

3.1 Основные понятия

Функцию R, заданную равенством , гдеи- алгебраические многочлены степениm и n соответственно, называ- ют рациональной функцией.

Если многочлен отличен от тождественной константы, т.е. если его степень есть натуральное число, рациональную функцию называют раци- ональной алгебраической дробью или, короче, рациональной дробью. Здесь мы рассматриваем рациональные дроби,n  1. В качестве обла- сти определения X такой функции выступает вся числовая ось, за вычетом конечного множества точек – вещественных корней знаменателя .

Рациональную дробь называют правильной, еслиm  n, и неправильной в противном случае, т.е. когда степень числителя больше или равна степени знаменателя. Неправильную рациональную дробь , по- делив многочленна многочлен, можно представить в виде сум- мы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби:

. Здесь и- алгебраические многочлены, причем степеньl мно- гочлена меньшеn. Такое преобразование дроби называют выделени- ем её целой части.

Элементарными рациональными дробями назовём рациональные дроби следующих двух видов:

, , гдеA, B, C, a, b, c – вещественные числа, причем , так что корни трехчлена- пара сопряженных мнимых чисел;k – натуральное число.

3.2. Основная теорема

Пусть ,n  1, – вещественный многочлен степени n, и пусть (19)

есть его разложение на вещественные множители. Таким образом, име ет l попарно различных вещественных корней кратности,j  1, 2,.. , l, и s пар мнимых сопряженных корней ,кратности , t  1, 2,.. , s.

Теорема 5. (О разложении дроби в сумму элементарных дробей)

Пусть - правильная рациональная дробь ( m  n), знаменатель которой представлен разложением (19). Существуют наборы вещест- венных чисел, гдеj  1, 2,  , l,   1, 2,  , , а также наборы ве- щественных чисели, гдеt  1, 2,, s, β 1, 2,  , , такие, что при всехx, x  R, , справедливо равенство

. . . . . . . . . . . . . . . .

…………………………………………………….

.

Доказательство теоремы можно найти в [1].

Замечание. Так как , то общее количество констант,иравно степени знаменателяn.

Пример. Дробь разложим в сумму элементар- ных дробей.

Разложение знаменателя на вещественные множители получено в примере п. 2.3.:. Многочлен имеет простой вещественный кореньи пару мнимых сопряженных корней,кратности 2. Согласно теореме 5 существуют константы – обо- значим их через А, B, C, D, E - такие, что при R, х

. Найдём эти константы. Приведя дроби в правой части к общему знаменате- лю, получим равенство между двумя дробями, знаменатели которых одина- ковы. Значит, должны совпадать и их числители:

. На это равенство смотрим как на равенство между двумя многочленами, при- чём степень многочлена в правой части не выше четвёртой. Из равенства и следствия 3 теоремы 3 следует, что должны быть одинаковы коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях х. Приравняв коэффициенты по- следовательно при , получим систему уравнений для неизвест- ныхА, B, C, D, E:

Отсюда: . Итак,

.

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М.:

Высшая школа, 1981

Оглавление