§ 2. Алгебраические многочлены

2.1. Корень алгебраического многочлена и его кратность

Пусть n – заданное натуральное число, а ,, , – заданные комплексные числа. Выражение

, где z С назовем алгебраическим многочленом степени не выше n и обо- значим через :. Числа,k  0, 1,  , n, называют ко- эффициентами многочлена ,называютстаршим коэффициентом этого многочлена.

Если ,назовем многочленом степени n. Если , тоназовем многочленом степени 0; в этом случае, оче- видно, z  C .

Пусть ,,- многочлен степениn, n  1, и пусть a – некоторое комплексное число. Поделим на двучленz – a. Результат за- пишем в виде равенства , справедливого при всех ком- плексныхz . Здесь - многочлен степениn-1 (частное), а S – число (ос- тататок). Найти иS можно с помощью процедуры деления “уголком”, известной из школьного курса алгебры. Если S , говорят, что делится наz – a без остатка.

Замечание 1. При делении многочлена наz – a старший коэффи- циент частного равен старшему коэффициенту, т.е..

Пусть - некоторый многочлен,a - некоторое комплексное число. Если , то числоa называют корнем алгебраического многочлена

Фундаментальную роль играет следующая теорема, которая принадле- жит К. Гауссу и которую обычно называют основной теоремой алгебры.

Теорема 1 (Гаусс). Всякий алгебраический многочлен степени n, n   1, имеет хотя бы один корень.

Доказательство этой теоремы средствами теории функций комплекс- ного переменного будет приведено позже .

Теорема 2 (Безу). Пусть ,, – некоторый многочлен степениn, n  1, и пусть a  C – некоторое число. Для того, чтобы a яв- лялось корнем , необходимо и достаточно, чтобыбез остатка де- лился на разностьz – a

Необходимость. Поделив на, получим:

, где S  C. Подставим в это равенство z  a: ; так какa - корень , то.

Достаточность. Пусть ; тогда. Подставивz  = a, получим: , т.е.a – корень .

Следствие. Пусть ,, – многочлен степениn, n  1, и пусть a, a  C, – корень этого многочлена. Существуют натуральное число k, 1  k  n, и многочлен степениn – k такие, что и

z  C . (14)

Поделив наz – a, получим в силу теоремы Безу:

z  C , (15) где- многочлен степениn-1, старший коэффициент которого равен (см. замечание 1) .

Возможны два случая: и. В первом случае утвер- ждение теоремы справедливо, так как (15) есть (14) приk  1. Во втором слу- чае a является корнем и потомуделится наz – a без остатка: , где- многочлен степениn - 2. Подставив в (15), получим:

z  C . (16)

Возможны два случая: и. В первом случае утвер- ждение теоремы справедливо. так как (16) есть (14) приk  2. Во втором случае поделим наz – a: . Отсюда:

z  C , и снова рассматриваем два случая:и. Описываемый процесс приводит к построению последовательности многочленов,, , где каждый последующий многочлен получен делением предыдущего на разностьz – a, причем (см. замечание 1) старший коэффи- циент каждого из них равен . Так как степень частного на единицу ниже степени делимого, то эта последовательность состоит не более чем изn мно- гочленов, а последний многочлен уже не делится наz – a без остатка, ибо . Завершив построение указанной последовательности, получим:

z  C , где, т.е. получим равенство (14) приk  l, l n .

Замечание 2. При k n представление (14) выглядит так:

z  C . (17)

Замечание 3. Число k в представлении (14) определяется единствен- ным образом. Действительно, допустим, что имеются два таких представле- ния: z  C и, где,. Допустим, что. Имеем:. Так каки– натуральные числа и, то. Подставивz  a, получим: , что противоречит условию. Возможностьопровергается аналогично. Значит,.

Число k в представлении (14) называют кратностью корня a.

Замечание 4. Число a является корнем кратности k многочлена тогда и только тогда, когда этот многочлен без остатка делится наприm  1, 2,  , k и не делится на приm  k.

Это утверждение легко следует из (14).

Если кратность корня a многочлена равна единице, его называ- ютпростым корнем этого многочлена.

2. Разложение многочлена на линейные множители

Теорема 3. (О разложении многочлена на линейные множители)

Пусть – алгебраический многочлен степениn, n  1. Тогда: 1) имеет не болееn попарно различных корней;

2) если ,, , ,m  n, – все попарно различные корни , а,,, – кратности этих корней (есть кратность), то

а) сумма всех кратностей равна степени многочлена: ;

б) справедливо представление:

z  C . (18)

По теореме Гаусса существует хотя бы один корень . Пусть- корень, а- его кратность. Тогда (см. (14) ):

z  C , причем. Возможны два случая:и. В первом случае справедливо представление (см. (17) ):z  C , т.е., справед- ливо (18) приm=1. Во втором случае степень не меньше единицы, и по теореме Гаусса существует корень этого многочлена.

Пусть - корень, а- кратность этого корня. Очевидно,. Имеем (см. (14):z  C , где. Отсюда:z  C .

Возможны два случая: , т.е., и. В первом случае, поэтому. Следовательно,имеет два корняи, и (18) справедливо приm =2. Во втором случае степень многочлена не меньше единицы, значит, существует кореньэтого многочлена. Если- кратность, тои

,

Снова возможны случаи и. В первом из нихz  C - представление (18) приm =3, во втором – существует корень многочлена, и рассужения можно продолжить. Конечным их результатом и будет представление (18), сумма кратностей в котором равнаn. Так как кратность всякого корня – натуральное число, а сумма кратностей равна n, то количество попарно различных корней многочлена не может превышать n.

Представление (18) называют разложением многочлена на линейные множители.

Замечание 5. Если ,, , - все попарно различные корни мно- гочлена, то сумма их кратностей равна степени многочлена. Этот ре- зультат часто формулируют так: всякий алгебраический многочлен степениn, n  1, имеет ровно n корней с учетом их кратностей (т.е. если каждый корень учитывать столько раз, какова его кратность).

Пример . Пусть . Прямой подстановкойнетрудно убедиться, что это число является корнем. Значит,делится на разность. Произведя деление, получим:

.

Таким образом, имеет три различных корня: простой корень –1 и кор- ниi, кратность каждого из которых равна 2. Представление (18) для него выглядит так:

Следствие 1. Пусть есть многочлен степени не вышеn, и пусть каждое из n  1 попарно различных чисел ,, , является корнем:,j  1, 2,  , n  1. Тогда все коэффициенты рав- ны нулю, т.е.,k  0, 1,  , n, и, следовательно, тождественно наC равен нулю.

является алгебраическим многочленом, степень которого не превышаетn. Значит, количество попарно различных корней ,, , этого многочлена (ихn  1) больше его степени. Согласно теореме 3, если степень многочлена является натуральным числом n, то количество его по- парно различных корней не может превысить n. Значит, степень многочлена не может быть натуральным числом, т. е.,является многочленом степени 0. В таком случае, и. Но, поэтому и. Таким образом, все коэффициентыравны нулю.

Следствие 2. Пусть многочлены ипри- нимают совпадающие значения вn  1 попарно различных точках ,, …,:,j  1, 2,  , n  1. Тогда наборы коэффициентов иодинаковы:при всехk  0, 1,  , n.

Обозначим: . При каждомj, j  1, 2,  , n  1, имеем , т.е. многочленимеетn  1 попарно различных корней. По следствию 1 все его коэффициенты рав- ны нулю ,k  0, 1,  , n . Отсюда: ,k  0, 1,  , n .

Пусть и- два многочлена. Будем говорить, что они равны и записывать при этом, если их значения совпадают при всех комплекс- ныхz : z  C .

Следствие 3. Пусть ,. Для того, чтобы эти два многочлена были равны, необходимо и достаточно, чтобы совпадали наборы их коэффициентов.

Необходимость. Пусть , т.е.z  C . Выберем какие – нибудь попарно различные числа,, , . Изz  C следует:,j  1, 2, , n  1. По следствию 2 ,k  0, 1,  , n .

Достаточность очевидна: если ,k  0, 1,  , n, то z  C .

Замечание 6. Пусть значения многочленов исовпадают во всех точках вещественной оси:х R .Тогда их значения совпа- дают на всей комплексной плоскости: z  C .

Выберем попарно различные точки ,, , на вещественной оси. Имеем:,j  1, 2, , n  1. По следствию 2 наборы коэффи- циентов этих многочленов совпадают, а тогда z  C .

2.3. Вещественные многочлены

Алгебраический многочлен называютвещественным многочленом, если все его коэффициенты – вещественные числа. Значения, принимаемые вещественным многочленом в точках вещественной оси, явля- ются вещественными числами.

Теорема 4. ( О корнях вещественного многочлена) Пусть – веще- ственный алгебраический многочлен степениn, n  1, и пусть a, a  C, – корень этого многочлена кратности k. Тогда сопряжённое число также является корнем, причем той же кратностиk.

Так как a - корень кратности k, то справедливо представление (14):

z  C , где, причем. Отсюда (см. п. 1.7):z  C

. В частности, эти равенства справедливы при вещественных z. Если z  x  R, то ; кроме того,, так как при всякомx  R есть вещественное число. Отсюда:x  R

, где . Обозначим:. Значения многочле- новисовпадают во всех точках вещественной оси; следовательно (см. замечание 6 , п. 2.2), их значения совпадают во всех точках комплексной плоскости:z  C .

Заметим, что . Действительно,. Но, значит, и.

Таким образом, z  C , причем. Сле- довательно (см. (14)), числоявляется корнемкратностиk .

Пусть - вещественный многочлен степениn, n  1, и пусть ,, , ,m  n, – все попарно различные его корни, а ,, , – кратности этих корней. Тогда справедливо представление (18) . Допус- тим, что– мнимое число:, где,, причем  0. По теореме 4 число также является корнемкратности. Зна- чит, в (18) среди множителейприсутствует множи- тель. Заметим:, где,=. Таким образом, объединив множители, отвечающие паре мнимых сопряженных корнейа и , получаем квадратный трехчлен с веще- ственными коэффициентами, возведенный в степень, равную кратности каж- дого из этих сопряженных корней.

Пусть, как и выше, ,n  1, – вещественный многочлен, а ,, , – все его попарно различные корни. Среди них могут быть и вещест- венные числа, и мнимые. Пусть,, , – все вещественные числа в ряду,, , , и пустьесть кратность,j  1, 2,  , l. Остальные числа указанного ряда мнимые; в силу теоремы 4 их можно разбить на неко- торое количество пар сопряженных друг другу корней. Пусть это будут пары и,и, , и, и пусть- кратность каждого из корнейи,t  1, 2,  , s. Тогда из (18) получим: z  C

Отсюда: z  C

. (19)

Это представление вещественного многочлена называют его разложе- нием на вещественные множители, линейные и квадратные. Квадратные мно- жители – это квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами; каж- дый из них имеет пару мнимых сопряженных корней. Справедливо равенство

.

Пример . Многочлен , рассмотренный в примере п.2.2, является вещественным многочленом, он имеет простой вещественный кореньи пару мнимых сопряженных корней,кратности 2. Справед- ливо представление:z  C

,

так что разложение (19) для выглядит так:.