§ 1. Комплексные числа

1.1 Множество C комплексных чисел

Введем традиционные обозначения: R – множество вещественных чи- сел, R- совокупность всевозможных упорядоченных пар веществен- ных чисел. Произвольный элементмножества R обозначим через z: , где R, R.

Два элемента имножествасчитаемравными, если и:.

Введем две операции, одну их которых назовем сложением элементов из R, а другую – умножением этих элементов. Каждая из них представляет собой правило, в силу которого любой упорядоченной паре элемен- тов изRставится в соответствие некоторый третий элемент этого множест- ва.

Элемент, который паре сопоставляет операция сложения, назо- вемсуммой элементов ии обозначим через.

Элемент, который паре сопоставляет операция умножения, назо- вемпроизведением элементов ии обозначим черезили.

Сумму и произведение элементов иопределим с помощью следующих равенств:

(1)

Множество всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел R, на котором указанным выше способом введены операции сложения и умножения называют множеством комплексных чисел и традиционно обо- значают буквой C. Элементы множества C называют комплексными числа- ми. Таким образом, комплексное число C, представляет собой упорядо- ченную пару вещественных чисел: . Первое числоx пары на- зываютвещественной частью комплексного числа z и обозначают через , второе числоy этой пары называют мнимой частью комплексного чис- ла z и обозначают через .

Пусть мнимые части чисел иравны нулю:,. Тогда из (1) получим:

; .

Таким образом, в рассматриваемом случае сложение и умножение ком- плексных чисел исводится к сложению и умножению их вещественных частей. Это обстоятельство позволяет трактовать комплексное число видакак вещественное числоx, т.е., считать, что = x. Особо отметим равенство , а также справедливость следующего утверждения: пусть; равенствоимеет место тогда и только тогда, когдах=иу=.

Комплексное число , мнимая частьy которого отлична от нуля, называют мнимым. Следовательно, всякое комплексное число является либо вещественным, либо мнимым.

Нетрудно убедиться, что введенные равенствами (1) операции облада- ют свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения веществен- ных чисел:

1.(Коммутативность) ;.

2.(Ассоциативность) ;.

3.(Дистрибутивность) .

Эти аналогии объясняют наименования операций, введенных равенст- вами (1) над комплексными числами – сложение и умножение.

Остановимся на геометрических ин- терпретациях множестваC . Как известно, геометрической интерпретацией множест- ва R является плоскость с введенной на ней декартовой прямоугольной системой координат: упорядоченная пара изо- бражается точкой плоскости с абсциссойx и ординатой y. Эту же точку плоскости считают изображением комплексного чис- ла . Когда точки плоскости рассматривают как изображения компле- ксных чисел, саму плоскость считают интерпретацией множестваС и называ- ют комплексной плоскостью. Изображениями комплексных чисел вида , т.е., вещественных чисел, будут точки оси абсцисс, поэтому ее называютве- щественной осью комплексной плоскости. Мнимые числа вида ,, изображаются точками оси ординат; эту ось называют мнимой осью комп- лексной плоскости (рис. 1).

Другая возможная геометрическая интерпретация комплексного числа состоит в том, что его изображают вектором, проекции которого на вещественную и мнимую оси естьx и y соответственно. В частности, в ка- честве изображения числа может выступать радиус-вектор точки с абсциссойx и ординатой y ( рис. 1). Такой взгляд на комплексное число удо- бен в ряде случаев, например, при геометрической интерпретации действий сложения и вычитания комплексных чисел (см. ниже).

1.2. Алгебраическая форма комплексного числа.

Среди комплексных чисел особая роль принадлежит мнимому числу . Его называют мнимой единицей и обозначают обычно буквойi : i = =. Это название связано с равенством. Действительно, вычислив произведениев соответствии со вторым из равенств (1) получим:

.

Пусть – некоторое комплексное число. Используя (1), нетруд- но убедиться в справедливости равенства. Но,,; поэтому равенство можно переписать так:. Пра- вую часть последнего равенства называют алгебраической формой комплекс- ного числа.

Пусть заданы комплексные числа и. Из равенств (1) вытекают правила сложения и умножения комплексных чисел, записан- ных в алгебраической форме: если,, то

;. (2)

Отметим три свойства этих действий. Они дополняют свойства 1 – 3, указанные в п. 1.1 и тоже вполне аналогичны соответствующим свойствам действий над вещественными числами.

4. , .

Запишем числа иz в алгебраической форме: ,. Из (1) получим:. Доказательство вто- рого равенства аналогично.

5. Пусть и– некоторые комплексные числа. Для того, чтобы произведениебыло равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из множителейибыл равен нулю:

.

Необходимость. Пусть . Покажем, что если один из множите- лей отличен нуля, то другой должен равняться нулю. Пусть, например,; покажем, что тогда. Действительно, запишем эти числа в алгебраиче- ской форме:,. Из (1) имеем:и. Отсюда следует, что числаиудовлетворяют однородной системе

где ,. Определитель этой системы отличен от нуля: так как , то. Значит, система имеет только нуле- вое решение:; поэтому.

Следовательно, из вытекает, что либо, либо, либо.

Достаточность очевидна в силу свойства 4.

5. Пусть и– комплексные числа. Тогда

.

Пусть ,. Тогда

.

Отсюда:

.

Пусть z  C. Число (–1) z обозначают через –z и называют числом, противоположным z. Из свойства 6 следует: сумма числа z и числа проти- воположного z равна нулю: z  C z  (–z)  0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сло- жению: пусть и– заданные числа; разностью чиселиназывают числоz такое, что ; разность чиселиобозначают через.

Запишем ,иz в алгебраической форме: ,,. Имеем:

. Отсюда:

, так что к правилам сложения и умножения (2) можно добавить правило вы- читания:

. (3)

Заметим, что равенства (2) и (3) можно получить складывая, перемно- жая и вычитая двучлены ипо правилам алгебры, известным из школьных учебников; при перемножении этих двучленов используется ра- венство. Следовательно, складывая, вычитая, умножая, возводя в на- туральную степень комплексные числа, записанные в алгебраической форме, можно руководствоваться правилами алгебры, изложенными в школьных учебниках, учитывая при этом значения степеней числаi: ,,,,и т. д. В частности, можно применять формулы сокращенного умножения.

Пример 1. Найдём алгебраическую форму числа .

Число запишем в виде двучленаи воспользуемся форму- лой. Получим:

.

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умноже- нию: пусть и– комплексные числа, причем; частным чиселиназывают числоz такое, что ; обозначают это число символамии. Запишем числа,иz в алгебраической форме: ,,; тогда изследует:,. Эти два равенства рассмотрим как систему двух линейных относительноx и y урав- нений. Определитель  этой системы равен ; так как, то и; поэтому система имеет единственное решение, которое можно найти по фор- мулам Крамера:.Таким образом,

. (4) Выполняя делениена, обычно прибегают к следующе- му приему: числитель и знаменатель дробиумножают на двучлен(числоназывают сопряженным числу, см. ниже 1.7) :

.

Пример 2. Вычислить .

Имеем:

.

В заключение этого пункта оста- новимся на геометрической интерпрета- ции суммы и разности. Будем изображать комплексные числа векторами, лежащими на комплексной плоскости. Числоизобразит- ся радиусом-вектором точки, число– радиусом-вектором точки. Числоизобразится вектором, проекции которого на оси равныи. Из векторной алгебры известно, что такой вектор является суммой векторови, т.е. диагональю параллелограмма, построенного на векторахи( рис. 2). Разностьпредставлена на этом рисунке разностью радиусов-векторов точеки, т.е. второй диагональю парал- лелограмма.

1.3. Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа называют вещественное число. Модуль числаz обозначаем через ; таким образом,, где,. Еслиz является вещественным числом, т.е., если , его модуль совпадает с абсолютной величиной числаx: .

Геометрический смысл модуля числа очевиден:есть расстояние от начала координат до точки, изображающей числоz, или длина вектора, проекции которого на оси есть x и y.

Замечание 1. Разность изображается вектором, начало которого есть точкакомплексной плоскости, а концом является(рис.2); значит, модуль разности, число || есть длина этого вектора, т.е. расстояние меж- ду точками комплексной плоскости и.

Отметим ряд свойств модуля. Они аналогичны свойствам абсолютной величины вещественного числа.

1. Для всякого z  C его модуль есть неотрицательное число, причемтогда и только тогда, когда.

2. Для всякого z  C ,.

Справедливость этих утверждений очевидна.

3. Для любых и; если, то.

Запишем числа ив алгебраической форме:,; тогда (см. (2)):

;

.

Пусть , и пусть; тогда. По доказанному выше,; отсюда, поскольку здесь все числа вещественные,.

3. Для любых комплексных исправедливы неравенства

.

Докажем сначала неравенство .

Справедливость его очевидна в случае . Пусть. Обо- значим:. Отсюда; таким образом, суммаявляется вещественным и притом положительным числом, в силу чего суммаравна сумме вещественных частей слагаемыхи:

, где ,. Так как, можем записать:; эдесь зак- лючительное неравенство вытекает из свойств абсолютной величины вещест- венных чисел. Из свойств 2 и 3 модуля следует:

; . Таким образом,, и так как (см. свой- ство 3), то окончательно получим:

.

Докажем неравенство .

Это неравенство очевидно, если . Пусть; тогда

. По доказанному выше . Значит,

. Случай рассматривается аналогично.

Замечание 2. Неравенство назывют неравенством тре- угольника, поскольку на него можно смотреть как на неравенство, связыва- ющее длины сторон треугольника, вершинами которого являются точки,и( рис. 2).

Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать обобщение неравенства треугольника: пусть ,, , – заданные комп- лексные числа; тогда.

1.4. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа

Аргументом комплексного числа z, , называют вещественное число такое, что

, (5) где

Если некоторое число удов- летворяет равенствам (5), то им удов- летворит и любое число вида   2k, k  Z, причем множество {  2k}, где k принимает всевозможные целые значения, есть совокупность всех чи- сел, удовлетворяющих (5). Таким обра- зом, аргумент числа z имеет бесконеч- ное множество значений, которые отли- чаются одно от другого слагаемым, кратным 2. В дальнейшем через мы обозначаем какое-либо одно из значений аргумента числаz. Равенство означает, что число есть одно из значений аргумента числа z. Неравенства означают, что в данном случаеесть то един- ственное значение аргументаz, которое лежит на промежутке ; иног- да такое число называют главным значением аргументаz.

Геометрически число  , удовлетворяющее условиям (1), является, оче- видно, углом между положительным направлением вещественной оси и век- тором z . Если  , угол отсчитывается от вещественной оси против часо- вой стрелки, если же  0 – угол отсчитывается по часовой стрелке (рис.3).

Пусть – отличное от нуля комплексное число,,. Учитывая равенства (5), можем записать:

. Здесь ,(- одно из значений аргументаz, любое).

Выражение называюттригонометрической формой числа z.

Пример 3. Найдём тригонометрическую форму числа .

Имеем: ;.

Последнее выражение уже является тригонометрической формой z. Найдём .Равенства (5) в рассматриваемом случае выглядят так:

, . Отсюда:,k  Z. Взяв в качестве , например, число, получим представление числаz в тригонометрической форме, в котором явно фигурирует и модуль, и аргумеит z: .

1.5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных

в тригонометрической форме

Пусть отличные от нуля комплексные числа изаписаны в триго- нометрической форме:

. (6)

Найдем тригонометрическую форму произведения . Заметим, что; кроме того,

.

Отсюда:

, (7) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа.

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (точнее: сложив аргументы сомножителей, мы по- лучим одно из значений ). Геометрически умножение числана числосводится к повороту векторана уголи к изменению дли- ны этого вектора враз.

Используя (7), с помощью метода математической индукции нетрудно установить справедливость следующего утверждения: пусть ,, , , гдеn  2, – заданные отличные от нуля числа, ,,k  1, 2,  , n; тогда

, (8) где,,, т.е. при перемноженииn, n2, комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Упражнение. Доказать равенство (8).

Найдем частное , гдеизаданы равенствами (6). Заметим (см. п.1.3), что. Кроме того,

.

Значит,

, (9) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа. Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делят- ся, а аргументы вычитаются (точнее: вычитая из аргумента числителя аргу- мент знаменателя, мы получим одно из значений аргумента частного).

Пример 4. Пусть ,,. Найтии.

Запишем заданные числа в тригонометрической форме:

; ;.

Таким образом, ,;;;. Теперь получим:

;

.

1.6. Возведение в целую степень и извлечение корня

Пусть ,, гдеr  | z |, , и пустьn – натура- льное число. Степень представляет собой произведениеn множителей: ; поэтомуможно вычислить по формуле (8) ; в рассматривае- мом случае,  n; поэтому

. (10)

Определим целые неположительные степени комплексного числа z, z  0. По определению положим ; и для всякогоn, n  N, по опреде- лению положим . Заметим: еслиr  | z |, , аn  N, то

.

Таким образом, равенство (10) справедливо при любых целых n. Это равенство называют формулой Муавра; его правая часть представляет собой тригонометрическую форму числа ,n  Z. Заметим, что равен. Если, тоn есть одно из значений .

Пусть заданы комплексное число a и натуральное число n, n  2, и пусть комплексное число z удовлетворяет равенству . Тогдаz назы- вают корнем степени n из числа a.

Если a  0, то и z  0 ( см. 1.2, свойство 5). Пусть a  0. Найдем мо- дуль и аргумент числа z. Обозначим: ,. Изследует, а из формулы Муавра вытекает; значит,и( это“ариф- метический ” корень: ) . Пусть ,  argz. Тогда {  2k}, где k  Z, есть множество всех значений аргумента a; поэтому число n, будучи одним из значений , должно совпадать с одним из чисел ука- занного множества. Значит, найдется,, такое, что; тогда

. (11)

Пусть k – любое целое число. Обозначим:

Рис. 4.

(12) По формуле Муавра получим:k  Z , так что каждое из чисел (12) является корнем степениn из a. С другой сто- роны, из (11) следует,что вся- кое число, являющееся кор- нем степени n из a, содер -жится среди чисел ,k  Z. , Значит, множество ,k  Z, есть множество всех значений корня степени n из a. Отметим, что в этом мно- жестве имеется всего n по- парно различных чисел: ,, , , очевидно, попарно различны, а всякое число, гдеk  –1 или k  n, совпа- дает с одним из чисел ,, , . Таким образом, для всякогоa  C, a  0, имеется ровно n попарно различных значений корня степени n; эти значения можно найти, придавая в формуле (12) индексу k значения 0, 1, 2,  , n– 1. Точки комплексной плос- кости, изображающие числа ,, , лежат на окружности радиусас центром вa  0 и делят её на n равных дуг ( рис.4).

Иногда употребляют символ для обозначения корняn-й степени из числа a; при a  0 этот символ имеет n различных значений.

Пример 5. Положим a  1 и вычислим корни степени n, где n –нату- ральное число, n  2. Для a  1 имеем:   | a |  1; ; значит,

, где k достаточно придавать значения 0, 1,  , n – 1. Положив здесь n  2 и k  0, 1, найдем два значения корня квадратного из единицы:

; .

Положив n  3 и k  0, 1, 2, найдем три значения корня кубического из единицы:

, ;.

Эти три точки делят единичную окружность на три равные дуги.

1.7. Сопряженные комплексные числа

Пусть ,,. Обозначим черезкомплексное число такое, что,. Таким образом, если, то, что обычно записывают в виде разности:.

Каждое из чисел пары z и называют числом,сопряженным с дру- гим числом этой пары. На комплексной плоскости точки, изображающие чи- сла z и , располагаются симметрично относительно вещественной оси.

Справедливы следующие утверждения.

1. .

2 .

3. .

4. Пусть ; если, то число – является одним из значе- ний аргумента .

5. .

6. .

7. Пусть , гдеи– комплексные числа; тогда.

Упражнение. Доказать перечисленные утверждения.

1.8. Сходящиеся последовательности комплексных чисел

Здесь мы рассматриваем бесконечные последовательности комплекс- ных чисел. Нашей целью является распространение основных понятий и тео- рем теории последовательностей вещественных чисел на более общий случай последовательностей комплексных чисел. Последовательность ,,,,.. обозначаем через, иногда через.

Сформулированное ниже определение вполне аналогично определе- нию предела последовательности вещественных чисел.

Пусть заданы последовательность ,, и комплексное число.

Определение 1. Число называют пределом последовательности, если для любого положительного числа существует натуральное число такое, что для всякого члена последовательности, номерk которого превы- шает , справедливо неравенство.

Если является пределом последовательности, будем записывать:или; саму последовательностьпри этом будем называть сходящейся последовательностью. Будем также говорить, что последователь- ностьсходится или стремится к. Таким образом,, если

Рис. 5.

. (13)

Пусть  – некоторое положительное число, а a – некоторое компле- ксное число. Множество комплексных чисел z, таких, что , назовем-окрестностью точки a и обозначим через :. Геометрически неравенствоозна- чает, что расстояние между точкамиz и a комплексной плоскости меньше ; значит, есть внутренность окружности ради- уса с центром в точке a ( рис. 5).

Согласно определению 1, если , то все членыпоследовательности, номе- раk которых больше , удовлетворяют неравенству, т.е.при. Следовательно, кругсодержит бесконечное множество чле- нов последовательности, вне этого круга могут оказаться лишь,, ,. Сказанное справедливо при любом, каким бы малым это число ни бы- ло.

Пример 6. Пусть С, . Обозначим:. Тогда.

Аналогичный пример (R, , ) был рассмотрен в тео- рии последовательностей вещественных чисел. То обстоятельство, что здесь q – комплексное число, не вносит никаких изменений в изложение указан- ного примера.

Теорема 1. Пусть задана последовательность ,, и комплекс- ное число. Обозначим:. Тогда.

Заменив в (13) на, получим:

, а это значит, что последовательность вещественных чисел является бесконечно малой.Следовательно, утвержденияиэквива- лентны.

Теорема 2. Пусть задана последовательность и число. Обозна- чим:,, где;,. Для того, чтобы числобыло пределом, необходимо и достаточно, чтобы последова- тельностьсходилась к, асходилась к:

.

Необходимость. Пусть . Тогда. Заметим:

.

Следовательно, . Так как, то и, а это означает:. Аналогично получим неравенство, из чего следует:.

Достаточность. Пусть и. Тогдаи. Отсюда и из равенстваследует:, т.е..

Теорема 2 позволяет, опираясь на основные теоремы о пределах после- довательностей вещественных чисел, получить аналогичные теоремы в комп- лексном варианте. Приведем примеры таких доказательств.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность ,, имеет только один предел.

Пусть ; по теореме 2,,(здесь,, где;,). Последовательностиивеществен- ных чисел не могут иметь других пределов, кромеи. Обращаясь вновь к теореме 2, заключаем:– единственный предел для.

Теорема 4. Пусть ,. Тогда:

1) ;

2) ;

3) если и, то.

Обозначим: ,,,; приk  1, 2,

, ,,.

1) По теореме 2, ,. По теореме об арифметических дей- ствиях с последовательностями вещественных чисел,. Ана- логично получим:. Отсюда и из теоремы 2 вытекает:, т.е..

Доказательства утверждений 2) и 3) аналогичны.

Определение 2. Последовательность назовем фундаментальной последовательностью, если для любого  0 можно указать натуральное такое, что для любых натуральныхn и m, больших, чем , справедливо неравенство.

Теорема 5 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаменталь- ной последовательностью.

В доказательстве этой теоремы мы считаем, что для последователь- ностей вещественных чисел аналогичная теорема установлена.

Необходимость. Обозначим: ,. Пусть- сходя- щаяся последовательность. Тогда последовательности вещественных чиселитакже сходятся ( см. теорему 2) и потому являются фундаменталь- ными последовательностями . Зададим  0.

Найдется такое, что

n  N m  N .

Найдется такое, что

n  N m  N .

Пусть . При любыхn и m , больших, чем , имеем:

. Следовательно, - фундаментальная последовательность.

Достаточность. Пусть – фундаментальная последовательность. Зададим  0. Найдется такое, что

n  N m  N . Но. Значит,

n  N m  N .

Здесь  – произвольное положительное число, следовательно, после- довательность является фундаментальной последовательностью веще- ственных чисел, и потому она сходится. Аналогично можно доказать, что и– сходящаяся последовательность. Так какисходятся, то по теореме 2 сходится и.

Замечание. Заведомо нельзя перенести на комплексный случай те тео- ремы о последовательностях вещественных чисел, формулировки которых содержат неравенства (например, нельзя сформулировать аналог теоремы о предельном переходе в неравенстве). Причина состоит в том, что для комп- лексных чисел не определены отношения “больше” или “меньше”.

Теорема 6. Пусть задано , пусть,. Для каждогоположим:. Последовательностьсходится, и ее предел равен числу.

Рис. 6.

Обозначим: . Очевидно,,; значит,. Найдетсятакое, чтопри, т.е. прирасстояние междуи 1 меньше 1; следовательно, приточкалежит в правой полуплоскости (рис. 6).

Везде ниже считаем, что . Обозначим черезто значение аргумента, которое лежит в:,. Имеем:. Так как, тоесть одно из значений аргумента:. Заметим:

Рассмотрим .

. Отсюда, так как при:

.

Следовательно,

, .

Отсюда и из теоремы 2:

.

1.9. Показательная форма комплексного числа

Пусть ,,.

Определение . Число назовём экспонентой отz и обозначим через или.

В силу теоремы 5 для всякого .

Отметим следующие свойства :

1) ;

2) ;

3) пусть , тогда;

4) .

Упражнение. Опираясь на определение 1, доказать утверждения 1), 2), 3) и 4).

Пусть ,. Запишем это число в тригонометрической форме:, где,. Отсюда и из свойства 3) вытекает сле- дующее равенство:. Выражение в правой части этого равенства назы- ваютпоказательной формой комплексного числа z.

Из формул пунктов 1.5 и 1.6 вытекают правила умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из комплексных чисел, записанных в показательной форме.

I. Пусть и– отличные от нуля комплексные числа,,(здесь,,,). Тогда:

; .

II. Пусть ,, , ,– отличные от нуля комплексные числа,,,k  1, 2,  , n, ,. Тогда:

.

III. Пусть ,, и пусть. Тогда , где ,.

IV. Пусть a  C, a  0, и пусть ,. Тогда числа,

, k  0, 1, 2,  , n – 1,

где ,, есть корни степениn из числа a (здесь ).

1.10. Логарифм комплексного числа

Определение. Логарифмом числа z, ,, называется числоw, , такое, что.

Запишем число z в показательной форме: , где,. Пусть,. Теперь равенствоможно записать так:. Приравняв модули левой и правой частей, получаем:, значит,, где– натуральный логарифм положительного числаr. Число v найдем из равенства : из свойства 4), п. 1.9, следует, что,, т.е.,.

При всяком целом k положим . Из сказанного вы- ше следует, что каждое из чисел,, является логарифмом числаz, и что только эти числа удовлетворяют определению логарифма.

Логарифм комплексного числа z, , обозначают через. Этот символ имеет бесконечное множество значений:

, где r  | z |,   argz, а k пробегает множество Z. Обычно под понима- ют какое-либо одно число из этого множества.

Пример 7. Пусть . Тогда,. Значит, каждое из чисел,, является логарифмом единицы. Среди этих чисел только одно вещественное:.

Пример 8. Пусть . Тогда,. Каждое из чисел

, , является логарифмом отрицательного числаx. Среди этих чисел нет вещест- венных. Известное утверждение щкольной алгебры “отрицательные числа не имеют логарифмов” теперь следует понимать так: логарифмы отрицатель- ных чисел не имеют вещественных значений.