Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

дует, что состояние R может рассматриваться как линейная суперпозиция состояний А и В. Поэтому можно также сказать, что состояние R зависит от состояний А и В. На самом деле, любой кэтвектор (или состояние), который линейно выражается через другие кэт-векторы (или состояния), называется линейно зависимым от них. Если же ни один из кэт-векторов не выражается линейно через другие кэт-векторы, то множество таких кэт-векторов называется множеством линейно независимых векторов.

Размерность обычного векторного пространства определяется как число содержащихся в этом пространстве линейно независимых векторов. Аналогично, размерность кэт-пространства эквивалентна числу содержащихся в нем линейно независимых кэтвекторов. Эти векторы называют базисными векторами, а их совокупность — базисом. Таким образом, кэт-пространство, представляющее возможные состояния поляризации фотона, распространяющегося в направлении оси z, двумерно (два линейно независимых базисных вектора соответствуют фотонам, линейно поляризованным вдоль осей x и y). Некоторые микроскопические системы имеют конечное число независимых состояний (например, спиновые состояния электрона в магнитном поле). Если существуют N линейно независимых состояний, то возможные состояния системы представляются как векторы в N-мерном кэт-пространстве. Ряд микроскопических систем обладает счетным бесконечным числом независимых состояний (например, частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме). Возможные состояния такой системы представляются векторами кэт-пространства бесконечной счетной размерности. Такое пространство можно рассматривать более или менее так же, как и конечномерное пространство. К сожалению, ряд микроскопических систем обладает бесконечным несчетным числом независимых состояний (например, свободная частица). Возможные состояния такой системы представляются кэт-векторами в пространстве, размерность которого бесконечна и несчетна. Этот тип пространств требует особого рассмотрения.

Как все рассказанное формулируется на более точном математическом языке? Состояния произвольной микроскопической системы могут быть представлены векторами в комплексном линейном векторном пространстве (возможно) бесконечной размерности. Такое пространство называется гильбертовым пространством

21

(по имени великого математика Д. Гильберта, в начале ХХ в. изучившего свойства этих пространств). Наша ближайшая задача — более подробно обсудить свойства гильбертова пространства и его связь с физическим пространством состояний.

1.5. Бра-пространство

Автомат по продаже кофе в МИФИ принимает монеты и некоторый код, вводимый с клавиатуры на передней стенке автомата. Если повезет, автомат выдает стаканчик кофе. Все это делается детерминированным образом, т. е. одна и та же сумма денег плюс один и тот же код приводят к появлению на выходе стаканчика с тем же напитком (или той же надписи об ошибке). Обратим внимание, что вход и выход автомата имеют совершенно различную природу. Можно представить себе абстрактный автомат, который принимает на входе кэт-векторы и детерминированным образом выдает на выходе комплексные числа. Математики называют такую машину функционалом. Представим произвольный функционал F, действующий на произвольный кэт-вектор А и выдающий на выходе произвольное число ϕA. Этот процесс можно математически представить в виде

Сосредоточимся на таких функционалах, которые сохраняют линейные зависимости кэт-векторов, на которые эти функционалы действуют. Неудивительно, что такие функционалы называются линейными функционалами. Произвольный линейный функционал F удовлетворяет равенству

где A и B — два любых кэт-вектора в данном кэтпространстве.

22

Рассмотрим N-мерное (т. е. конечномерное или счетное бесконечномерное при N → ∞) кэт-пространство. Пусть i , i = 1, …, N,

представляют N независимых кэт-векторов в этом пространстве. Произвольный кэт-вектор можно представить в виде1

N

A = ∑αi i , (1.11)

i=1

где αi — произвольный набор комплексных чисел. Функционал F может удовлетворять соотношению (1.10) для всех векторов в кэтпространстве только в случае, если

N

F ( A )= ∑ fi αi , (1.12)

i=1

где fi — множество комплексных чисел, связанных с функционалом.

Определим N базисных функционалов i , удовлетворяющих условию

Из предыдущих трех соотношений следует, что

N

F = ∑ fi i . (1.14)

i=1

1 Строго говоря, такое свойство полноты верно только для конечномерных пространств. В случае счетных бесконечномерных пространств это верно только для определенного подмножества таких пространств, но поскольку кэт-пространство обязано быть полным, если мы с его помощью хотим представить состояния микросистемы, то нам достаточно рассматривать только это подмножество.

23

Но отсюда следует, что множество всех возможных линейных функционалов, действующих в N-мерном кэт-пространстве, само представляет N-мерное векторное пространство. Такой тип векторного пространства называется (следуя Дираку) брапространством, а составляющие его векторы (которые, на самом деле, являются функционалами в кэт-пространстве) называются бра-векторами. Заметим, что бра-векторы существенно отличаются по своей природе от кэт-векторов (поэтому они записываются зер-

кальным образом по отношению к кэт-векторам, ... и ... , так

что их невозможно перепутать). Бра-пространство есть пример того, что математики называют дуальным векторным пространст-

вом (т. е. дуальным к исходному кэт-пространству). Между элементами кэт-пространства и соответствующими элементами брапространства существует взаимно однозначное соответствие. Так, для каждого элемента А кэт-пространства существует соответствующий элемент в бра-пространстве, который тоже удобно обозначить А, иными словами,

где ДС означает дуальное соответствие.

Существует бесконечное число способов установить соответствие между векторами в кэт-пространстве и соответствующем брапространстве. Однако только одно из них имеет хоть какое-то физическое значение. Для произвольного кэт-вектора А, определенного разложением (1.11), соответствующий бра-вектор записывается в виде

N

A = ∑α*i i , (1.16)

i=1

где α*i — числа, комплексно сопряженные к αi. Вектор A назы-

вают дуальным к вектору A. Из предыдущего следует, что ду-

альным вектором к c A , где с — комплексное число, является

24

вектор c* A . В более общей форме

Вспомним, что бра-вектор есть функционал, действующий на произвольный кэт-вектор и возвращающий комплексное число. Рассмотрим функционал, дуальный к кэт-вектору

i=1

идействующий на кэт-вектор A . Эта операция обозначается

B ( A). Заметим, однако, что можно без ущерба отбросить круг-

лые скобки и записать эту операцию как B A. Еще один упро-

щающий шаг приводит к выражению B A. Согласно формулам

(1.11), (1.12), (1.16) и (1.18),

N

B A = ∑β*i αi . (1.19)

i=1

Математики называют B A внутренним произведением бра и

кэт.1 Внутреннее произведение практически совпадает со скалярным произведением ковариантного и контравариантного векторов в некотором криволинейном пространстве. Легко показать, что

1 Теперь становится понятной элегантность обозначений Дирака: комбинация бра и кэт образует «бракэт», (т. е. скобку bra(c)ket), которая является обычным числом.

25

Рассмотрим частный случай, когда B→ A. Из соотношений

(1.12) и (1.20) следует, что A A является действительным числом и

Знак равенства имеет место только в случае, когда A — нулевой

вектор (т. е. когда в формуле (1.11) все αi = 0). Как станет ясно в дальнейшем, это свойство бра- и кэт-векторов существенно для вероятностной интерпретации квантовой механики.

Говорят, что два кэт-вектора A и B ортогональны, если

откуда также следует, что B A = 0.

Если задан ненулевой кэт-вектор A , то можно определить

нормированный кэт-вектор A, где

Здесь A A называется нормой (или «длиной») кэт-вектора A и аналогична длине или величине обычного вектора. Поскольку кэт-векторы A и с A представляют одно и то же физическое состояние, имеет смысл потребовать, чтобы все кэт-векторы, соот-

26

ветствующие физическим состояниям, обладали единичной нормой.

Теперь можно определить и дуальное бра-пространство к кэтпространству несчетного бесконечного числа измерений. Делается это способом, во многом аналогичным описанному выше. Главные различия состоят в том, что суммирование по дискретным индексам переходит в интегрирование по непрерывным индексам, дель- та–символ Кронекера становится дельта–функцией Дирака, условие полноты постулируется (в бесконечномерном несчетном случае его доказать нельзя) и несколько изменяется условие нормировки.

1.6. Операторы

Мы видели, что функционал представляет собой машину, которая забирает на входе кэт-вектор и выбрасывает на выходе комплексное число. Рассмотрим несколько иную машину, которая забирает кэт-вектор и детерминировано выбрасывает другой кэтвектор. Математики называют такую машину оператором. Нас будут интересовать только операторы, сохраняющие линейные зависимости кэт-векторов, на которые они действуют. Такие операторы называются линейными операторами. Рассмотрим оператор X. Предположим, что когда этот оператор действует на произ-

вольный кэт-вектор A , он в виде результата выдает новый кэт-

вектор, обозначаемый X A . Оператор Х линеен, т. е. для всех кэт-

векторов A и B и всех комплексных чисел с выполнены условия

выполнено для всех кэт-векторов рассматриваемого кэтпространства. Оператор Х называется нулевым оператором, если

для всех кэт-векторов пространства.

Операторы можно складывать друг с другом. Такое сложение подчиняется правилам коммутативной и ассоциативной алгебры:

Операторы можно умножать на числа. Умножение ассоциативно:

До сих пор мы рассматривали только линейные операторы, действующие на кэт-векторы. Но можно также придать смысл их действию на бра-векторы. Рассмотрим внутреннеее произведение про-

извольного бра-вектора B и кэт-вектора X A . Это произведе-

ние есть число, линейно зависящее от A . Следовательно, его можно рассматривать как внутреннее произведение A с некото-

рым бра-вектором. Этот бра-вектор линейно зависит от B , так что можно рассматривать его как результат действия некоторого линейного оператора, примененного к B . Этот оператор однозначно определяется исходным оператором Х, так что с тем же

28

успехом можно назвать этот оператор действующим на B . Удоб-

ное обозначение для действия оператора Х на B есть B X . Формула, определяющая этот вектор, имеет следующий вид:

для любых A и B . Тройное произведение B , Х и A можно однозначно записать в виде B X A, если принять соглашение,

что бра-векторы всегда стоят слева, оператор в середине, а кэтвекторы справа.

Рассмотрим дуальный бра-вектор к X A . Этот бра-вектор ан-

тилинейно зависит от A и поэтому должен линейно зависеть от

A . Следовательно, этот вектор следует рассматривать как ре-

зультат применения к A некоторого линейного оператора. Этот

оператор называют сопряженным к X и обозначают X † . Таким образом,

Также легко показать, что сопряженный к сопряженному линейному оператору эквивалентен исходному оператору. Эрмитовый оператор ξ обладает тем свойством, что он сопряжен самому себе, т. е.

29

1.7. Внешнее произведение

До сих пор мы строили следующие произведения:

B A, X A,A X , XY ,B X A.

Можно ли образовать какие-то другие произведения? Как насчет

BA ? (1.39)

Ясно, что это выражение линейно зависит от кэт-вектора A и

бра-вектора B . Умножим это выражение справа на произволь-

ный кэт-вектор C. Тогда

так как A C есть просто число. Таким образом, BA , дейст-

вуя на произвольный кэт-вектор C, приводит к другому кэт-

вектору. Ясно, что произведение BA является линейным опе-

ратором. Этот оператор действует также на бра-векторы, что легко проверяется путем умножения выражения (1.39) слева на произ-

вольный бра-вектор C . Нетрудно показать, что

Математики называют оператор BA внешним произведением

векторов B и A . Это произведение не следует путать с внут-

ренним произведением A B , которое является просто числом.

30