Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

В матричном представлении состояния a1 и b2 изображаются

матричные элементы которых Fss’ и Grr’ (s,s’,r,r’=0, 1) вычислены в базисе состояний { 0 , 1 }1,2 для каждого из кубитов. В пра-

вой части (2.133) стоит тензорное произведение двух векторстолбцов

Дальнейшая, довольно скучная, процедура вычислений состоит в следующем. С помощью (2.135) и (2.136) выражаем α0 и α1 через a0, a1 , а также β0 и β1 через b0 , b1 вместе с соответствующими

матричными элементами операторов ˆ и ˆ , а затем подставляем

F G

121

их в выражение (2.137) для 4-компонентного вектор-столбца. Получившийся вектор-столбец, как это и следует из левой части (2.133), будет представлять собой результат действия некоторой 4×4 матрицы на 4-компонентный вектор-столбец (см. (2.132)):

силу линейности (2.133) по as и bs , указанная матрица зависит только от матричных элементов Fss’ и Grr’. Она и представляет собой

Для компактности мы использовали символическую запись, в

Сформулированное правило вычисления кронекерова произведения матриц очевидным образом обобщается на случай матриц более высокой размерности.

В качестве примера рассмотрим тензорное произведение

122

H 2 ≡ H H двух однокубитовых преобразований Адамара (2.64). Используя правило (2.138), получаем

Эта матрица представляет собой некоторый унитарный оператор, действующий в пространстве состояний двухкубитового регистра, т.е. является простым примером двухкубитового гейта. На рис. 2.9 слева изображена квантовая схема, показывающая, как на каждый из двух кубитов действует преобразование Адамара H. Справа

изображена эквивалентная схема с двухкубитовым гейтом H 2 .

Рис. 2.9

Продемонстрируем действие данного преобразования на двухкубитовый регистр, который сначала находится в состоянии

C1C0 = 00 . С точки зрения левой схемы, это выглядит следующим образом:

123

(H H ) 00 = (H 0)(H 0) =

Здесь при вычислении состояния H 0 мы использовали опера-

торную форму преобразования Адамара (2.64). Эквивалентный результат дает и правая схема

Здесь мы использовали выражение (2.140) для матрицы H 2 ,

1

записали начальное состояние в виде вектор-столбца 00 , а полу-

0

чившийся вектор-столбец разложили по спинорам (2.128), описывающим базисные состояния двухкубитового регистра. Примечательной чертой рассматриваемого преобразования является то, что

в результате его действия на начальное состояние 00 получается

состояние (2.141), которое является однородной и синфазной суперпозицией всех состояний, представляющих в двоичной записи числа 0, 1, 2 и 3.

Это свойство имеет место, разумеется, и для произвольного

124

n-кубитового регистра. Действительно, пусть n-кубитовый регистр находится в состоянии 00...0 . Подействуем на каждый кубит преобразованием Адамара и получим состояние

в котором с одинаковыми амплитудами и фазами представлены все базисные векторы (2.110), изображающие в двоичном коде все

числа x от 0 до 2n −1. Квантовая схема этого процесса показана на рис. 2.10.

Рис. 2.10

125

Суперпозиционное состояние (2.143) n-кубитового регистра часто используется в различных протоколах квантовой информати-

ки. При этом мультикубитовый гейт H n , порождающий данное состояние из начального вектора 00...0 , является достаточно

простым и целиком определяется свойством однокубитового преобразования Адамара (2.64). С помощью тензорного произведения всевозможных однокубитовых операторов можно построить много разнообразных мультикубитовых гейтов. Однако такие приводимые многокубитовые преобразования не содержат фактически ничего нового по сравнению со свойствами однокубитовых гейтов, из которых они построены. Но самое главное состоит в том, что указанные приводимые гейты не исчерпывают всего многообразия многокубитовых унитарных преобразований. Двухкубитовые и более сложные гейты мы обсудим в разделах 2.5 и 2.6.

Квантовый параллелизм

Квантовые вычисления сводятся к выполнению тех или иных унитарных преобразований в пространстве состояний квантового регистра, т.е. к унитарным преобразованиям полного набора базисных векторов системы. Сразу отметим важную особенность квантовых вычислений, обусловленную принципом суперпозиции. Если связанное с процедурой вычисления унитарное преобразование применено к такому квантовому состоянию регистра, которое имеет вид суперпозиции (2.113), то вычислительная операция оказывается выполненной сразу для всех чисел, представленных в этой суперпозиции. Это фундаментальное свойство квантовых вычислений называется квантовым параллелизмом. Идея квантового параллельного вычисления была сформулирована Давидом Дойчем в пионерской работе 1985 г.

Пусть, например, сконструировано унитарное преобразование, которое обеспечивает вычисление функции f (x) . Применяя это

преобразование к состоянию ψ0 (2.143), мы за один проход данной вычислительной процедуры получаем значение функции f (x) для всех 2n значений аргумента х. Для многокубитового регистра,

126

когда n>>1, функция f (x) оказывается вычисленной сразу в экс-

поненциально большом числе точек. Так работает квантовый параллелизм.

Во избежание недоразумений сделаем два замечания, касающиеся изложенного выше принципа квантового параллелизма. Вопервых, мы пока совершенно не касались вопроса о том, как сконструировать унитарное преобразование, т.е., как построить набор унитарных гейтов, реализующих интересующую нас вычислительную операцию. Некоторые аспекты этого важного вопроса будут обсуждаться в разделе 2.6. Во-вторых, полученные в результате квантового вычисления двоичные записи численных значений функции f (x) будут представлены в квантовом состоянии регист-

ра все сразу, но в виде квантовой суперпозиции соответствующих базисных векторов. В этом смысле, как уже отмечалось выше, в квантовом состоянии регистра содержится в принципе огромный объем информации. Но это есть квантовая информация, обладающая той особенностью, что при считывании большая ее часть, как правило, теряется.

Действительно, для считывания надо произвести измерение каждого кубита n-кубитовой системы в базисе состояний 0 и 1 .

Согласно постулату фон Неймана, это означает проектирование состояния кубита на указанный измерительный базис, а для всей системы – проектирование на полный набор базисных состояний (2.110). В результате получится один из кэт-векторов, которые входят в суперпозиционное состояние регистра с отличными от нуля коэффициентами. Другими словами, в результате измерения исходное квантовое состояние регистра будет разрушено, и система случайно окажется в одном из состояний измерительного базиса. Это принципиальное свойство процесса квантового измерения.

Так, например, проводя указанное измерение в состоянии ψ0 (2.143), мы случайным образом получим одну из 2n равнове-

роятных двоичных строк х≡ (Cn−1...C1C0 ) , представленных векторами x в суперпозиции (2.143), т.е. извлечем, согласно (2.2),

только log2 2n = n битов информации. Это ровно столько же, сколько содержится в классическом n-битовом регистре.

127

Поэтому можно задать вполне резонный вопрос о том, в чем же преимущества квантовых вычислений. А они в том, что экспоненциально большая информационная емкость квантового состояния позволяет эффективно манипулировать квантовой информацией со скоростью, которая не доступна никаким классическим вычислительным машинам. Поясним это на простом примере.

Пусть n-кубитовый регистр находится в некотором суперпозиционном состоянии вида (2.113). Применим к этому состоянию

однокубитовую унитарную операцию ˆ , которая, для определен-

U

ности, действует на первый кубит. Преобразование этого кубита

кубитовой системы, т.е.

Применяем к этому состоянию операцию ˆ и, учитывая соотно-

U

шение (2.144), получаем

где S ≡ C' x опять представляют собой базисные векторы n-кубитового регистра, а новые коэффициенты bS имеют вид

Мы видим, что однократное применение операции ˆ , т.е. один

U

шаг квантового вычисления позволяет получить все 2n коэффициентов bS из 2n начальных коэффициентов aS ≡ aCx .

Сравним с классическим вычислением, которое необходимо произвести, чтобы описать в общем виде такое же преобразование информации. Для этого надо вычислить совокупность коэффици-

ентов bS , имея на входе совокупность коэффициентов aS . Выражение (2.147) показывает, что для такой операции потребуется применить 2×2 матрицу Uc 'c для каждого значения двоичной строки х≡| Cn−2 ...C1C0 >, т.е. 2n–1 раз. Повторяем, что квантовое

вычисление производится за один шаг. При n>>1 это означает экспоненциальное сокращение количества операций.

В чем же корни столь разительного отличия эффективностей квантовой и классической вычислительных операций?

Прежде всего, это обусловлено принципом суперпозиции, гарантирующим существование квантовых состояний n-кубитового регистра, которые описываются кэт-векторами вида (2.113). Вычислительная операция, примененная к такому состоянию, работает сразу для всех входящих в него базисных векторов. Более того, в процессе вычисления проявляются все интерференционные квантовые эффекты, зависящие от фазовых соотношений между компонентами суперпозиционного состояния.

Наряду с квантовой суперпозицией и интерференцией фундаментальную роль играет явление перепутывания квантовых состояний. Суть перепутанных состояний легко понять, если сравнить, например, структуру любого из базисных векторов (2.108) и таковую кэт-вектора (2.113) суперпозиционного состояния. Базисные состояния (2.108) представляют собой произведения кэтвекторов однокубитовых состояний, т.е. имеют, как принято гово-

129

рить, факторизованный вид. Это означает, что не только состояние всего n-кубитового регистра, но и состояние каждого из входящих в него кубитов является чистым состоянием. Состояние каждого кубита описывается некоторым кэт-вектором и не зависит от того, в каких состояниях находятся остальные кубиты. Иная ситуация с кэт-вектором (2.113) суперпозиционного состояния. В общем случае этот вектор не может быть записан как произведение однокубитовых состояний, т.е. он не имеет факторизованного вида. Поэтому квантовое состояние отдельного кубита оказывается перепутанным с состояниями других кубитов и не описывается ка- ким-либо кэт-вектором. Такое состояние квантовой подсистемы, в данном случае отдельного кубита, называется смешанным состоянием. Оно описывается с помощью матрицы плотности (см. главу 1). В этом контексте перепутанные квантовые состояния нескольких подсистем, входящих в некоторую более сложную систему, являются совершенно обычным объектом в аппарате квантовой механики.

Отличительным свойством перепутанных квантовых состояний является высокая степень корреляции1 между рассматриваемыми подсистемами. Подчеркнем, что степень корреляции может быть больше той, которая следует из классических представлений.

В приведенном выше примере операция ˆ (2.144) была приме-

U

нена к одному кубиту, квантовое состояние которого перепутано с состояниями остальной части регистра. Если n достаточно велико, то мы имеем дело с большой перепутанной системой кубитов. Корреляции между кубитами, т.е. между отдельными подсистемами полной квантовой системы, приводят к переработке экспоненциально большого объема квантовой информации. Классическому компьютеру для этого потребуется, вообще говоря, экспоненциально большой ресурс. Благодаря своим корреляционным свойствам, перепутанные состояния играют фундаментальную роль в процессах манипулирования квантовой информацией. По существу явление перепутывания состояний выступает как парадигма квантовой информатики.

1 Корреляционные свойства перепутанных состояний, а также связанные с ними нарушения неравенств Белла обсуждаются в разделе 3.4.

130