Ктитров Расчет установившихся режимов и переходных процессов в нелинейных 2008

преобразуем следующим образом. Отбросим слагаемое порядка и подставим p 0 . Такая подстановка является эквивалентным преобразованием, так как умножение операторов Q(p) , R(p) на константу означает умножение на нее свободного члена соответст-

вующего полинома (напомним, что p d ). В правой части снача- dt

ла следует вычислить S(p) f (t) , и лишь потом отбросить переменные составляющие полученного выражения. Результат условно запишем через S(0) f (t) . Тогда (2.68) примет следующий вид:

Q(0)x0 R(0)F0 S(0) f (t). (2.69)

Уравнение (2.69) называют уравнением постоянных составляющих. Уравнения для первой и последующих гармоник аналогичны (2.25), полученным для симметричных колебаний, но коэффициенты рядов Фурье Fi и Gi получены для (2.59) по (2.60) – (2.62). Ис-

пользуя обозначения (2.63) – (2.65), запишем уравнение для первой гармоники:

Отбрасывая слагаемое порядка и подставляя i в характеристическое уравнение, соответствующее (2.70), получаем совместно с (2.69) систему для определения параметров несимметричных автоколебаний

Q(i ) R(i ) q(x0,A) iq (x0,A) 0.

Как указывалось, таких параметров три – постоянное смещение x0 ,

амплитуда A и частота колебаний . Первое уравнение (2.71), уравнение для постоянных составляющих, имеет действительные коэффициенты. Второе уравнение в (2.71), коэффициенты которого комплексные, распадается на два – для действительных и мнимых членов, поэтому для поиска трех вещественных параметров имеется три уравнения с вещественными коэффициентами. Один из методов решения системы (2.71) – сначала выразить смещение x0

71

через амплитуду, т.е. найти x0 (A) из уравнения для постоянных составляющих и затем подставить в остальные уравнения. Далее решение не отличается от случая симметричных колебаний.

При обосновании применения МГЛ в случае симметричных колебаний было получено условие фильтра (2.29). Очевидно, из того, что уравнения для первой и высших гармоник при симметричных и несимметричных колебаниях идентичны с точностью до коэффициентов, следует, что условие фильтра должно выполняться и в рассматриваемом случае.

Пусть линейная часть системы, изображенной на рис. 2.1, имеет нулевой полюс, т.е.

Q(p) pQ1(p),

а на вход подается постоянный сигнал u(t) u1 const. Тогда

Из (2.72) следует, что F0(x0,A) 0, в противном случае должно будет выполняться R(0) 0, что противоречит (2.72). Другими словами, линеаризация выхода нелинейности в астатической системе при постоянном входном воздействии не будет иметь постоянной составляющей.

В случае однозначной нелинейности система (2.71) примет вид

Q(0)x0 R(0)F0 (x0,A) S(0) f (t);ReQ(i ) ReR(i )q(x0,A) 0;

ImQ(i ) ImR(i )q(x0,A) 0,

откуда

ReR(i )ImQ(i ) ReQ(i )ImR(i ) 0.

Из (2.73) следует, что частота автоколебаний, как и в случае колебаний без постоянной составляющей, определяется линейной частью. Более того, сравнивая (2.73) с (2.39), получаем

qC (AC ) q(x0,A),

72

где qC (AC ) – коэффициент гармонической линеаризации для сиг-

нала с нулевой постоянной составляющей; AC – его амплитуда. Следует заметить, что равенство коэффициентов гармонической линеаризации не означает равенства амплитуд колебаний.

В табл. 2.5 приведены коэффициенты гармонической линеаризации нелинейностей и их смещения, полученные с учетом постоянной составляющей. В табл. 2.6 представлены соответствующие коэффициенты двузначных нелинейностей. Для более компактного представления формул в табл. 2.5, 2.6 использованы следующие обозначения:

1 x1 x0 , 1 x1 x0 ,

A A

2 x2 x0 , 2 x2 x0 ,

A A

x2 x1 .

A

Сравнивая табл. 2.2 и 2.5, можно оценить, насколько усложняются коэффициенты по сравнению со случаем симметричных колебаний.

Таблица 2.5

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых однозначных нелинейностей при несимметричных колебаниях

73

Продолжение табл. 2.5

1 1 12 1 1 12

при A x1 x0

74

1 1 12 2 1 22

1 1 12 2 1 22

при A x2 x0

75

Продолжение табл. 2.6