Ктитров Расчет установившихся режимов и переходных процессов в нелинейных 2008

зуем функцию

которую умножим на величину разрыва. Тогда выражение для ~ g

примет вид

Построим, по аналогии, КЛФ с N узлами, последовательно добавляя узлы слева направо. Обозначим через fi (x) КЛФ, к которой добавлено i первых узлов. Тогда

f0(x) 0 k0x;

fi (x) fi 1(x) (ki ki 1) fE (x xi )+

ответственно. По построению искомой КЛФ будет fN (x). Подста-

вим (1.28) и (1.29) в (1.30):

21

из (1.31) получаем аналитическое представление КЛФ (1.27), причем значения коэффициентов в выражении (1.27) определяются (1.31)–(1.35). Если известно значение КЛФ в нуле, вместо выражения (1.32) удобнее использовать следующее:

полученное из (1.27) при x 0. Если КЛФ непрерывна в узле xi ,

то ci 0.

Теперь рассмотрим, как могут быть описаны с использованием единой аналитической формулы двузначные нелинейности. Обо-

Заметим, что при объединении ветвей на основе (1.37) значение функции при x 0 равно (1.5).

Определение 1.9. Двузначной КЛФ будем называть двузначную функцию, обе ветви которой – КЛФ.

Двузначная КЛФ, таким образом, может быть задана единым аналитическим выражением с использованием (1.27) и (1.37).

1.4.Модели типовых нелинейностей систем управления

Вкачестве примера применения (1.27) – (1.37) опишем некоторые типовые нелинейности, часто используемые при создании математических моделей систем автоматического управления [6].

22

Нелинейный элемент «ограничение», или «насыщение», изображен на рис. 1.3. Элемент характеризует ограничение хода механических элементов, ограниченные мощности источников энергии, может использоваться для формирования характеристик датчиков с учетом диапазона измерений. Нелинейность имеет описание

Характеристика типа «зона нечувствительности» (рис. 1.4) задается формулой

и может определяться перекрытиями в пневматических и гидравлических золотниках, предварительной затяжкой пружин, сухим трением в подвижных частях, зазорами в шарнирных и зубчатых соединениях или между контактами электрического устройства.

При малых сигналах нелинейный элемент «ограничение с зоной нечувствительности» (рис. 1.5) подобен зоне нечувствительности, а при больших – ограничению. Его описание:

В пневматических сервоусилителях, реактивных приводах, потенциометрических схемах обычно встречаются звенья, которые могут быть описаны нелинейностями «реле» и «трехпозиционное реле». Графики нелинейностей изображены на рис. 1.6, 1.7, а их

23

аналитическое описание соответственно:

F(x) = ρsgn(x) ;

F(x) = 12 ρ(sgn(x + x1 ) +sgn(x − x1 )).

Обычно для простоты разрывы первого рода в нелинейностях соединяют не пунктирной, как на приведенных рисунках, а сплошной линией.

Наличие зазоров (люфтов) в механических системах, учет сухого трения приводит к необходимости использования двузначных нелинейностей. На рис. 1.8 изображено реле с гистерезисом. При изображении двузначных нелинейностей на графике совмещают обе ветви, а соответствие ветви знаку x указывается стрелкой в направлении изменения x. Такая нелинейность описывается достаточно просто:

F(x, x) = ρsgn(x − x1 sgn x) .

24

стрелками, направление обхода (против часовой стрелки).

Существенно более простой моделью люфта с ограничением Рис. 1.10. Нелинейность типа «люфт» является двузначная нелинейность типа «гистерезис». График

этой нелинейности приведен на рис. 1.11. Такая нелинейность может быть описана формулой

и для (1.39).

1.5. Примеры описания нелинейных систем управления

Приведем примеры применения описанных в данной главе способов описания нелинейных САУ, разделимых на линейные и нелинейные подсистемы.

26

s(T1s 1)(T2s 1)

Запишем систему уравнений в пространстве состояний:

x1 5x2;

x2 x3 x2 T1 ;

x3 u x1 0,4 u x1 0,4 x3 T2 .

При составлении дифференциальных уравнений линейная часть рассматривалась как последовательное соединение звеньев первого порядка.

Пример 1.2. Структурная схема системы приведена на рис. 1.12, линейная часть задана передаточной функцией

Пример 1.3. Структурная схема системы приведена на рис. 1.13: последовательно соединены нелинейные и линейные подсистемы.

27

С целью облегчения понимания и упрощения записи использованы вспомогательные переменные z (в примере 1.2 подстановка привела к дублированию подвыражений в правой части дифференциальных уравнений). Обратите внимание, что уравнения для колебательного звена записаны в базисе, отличном от использованного в примере 1.2.

Контрольные вопросы и упражнения

1.Запишите пару «нелинейный элемент – линейная система» в пространстве состояний в стандартной форме.

2.Запишите в матричной форме систему дифференциальных уравнений, описывающую две последовательно соединенные линейные подсистемы, охваченные единичной обратной связью, причем скалярный выход

первой подсистемы подается на вход второй с запаздыванием 1.

3.Модифицируйте уравнения, полученные в упражнении 2, добавив запаздывание 2 в обратную связь.

4.Как получить передаточную функцию линейной системы по ее дифференциальным уравнениям?

5.Можно ли, зная передаточную функцию, восстановить дифференциальные уравнения, описывающие систему? Если можно, то как? Если нельзя, то почему?

6.Является переход от представления линейной системы передаточной функцией к дифференциальными уравнениями однозначным? Однозначен ли обратный переход?

29

7.Как упрощается структура дифференциальных уравнений системы, порядок числителя передаточной функции которой меньше порядка ее знаменателя?

8.Запишите матрицы A, B, C, D, используемые в стандартном представлении в пространстве состояний, выразив их через коэффициенты передаточной функции, заданной отношением полиномов.

9.Единственно ли решение задачи из упражнения 8? Почему? Приведите несколько вариантов решения.

10.Запишите дифференциальные уравнения, описывающие систему, заданную передаточной функцией

s(T1s 1)(T2s 1)

Как изменятся дифференциальные уравнения при охвате системы единичной отрицательной обратной связью?

11. Запишите дифференциальные уравнения для САУ, образованной нелинейностью типа «ограничение» и линейной подсистемой, заданной передаточной функцией

W(s) K T32s2 2T3 s 1 , s(T1s 1)(T2s 1)

которые соединены последовательно и охвачены единичной отрицательной обратной связью.

12.Назовите способы описания КЛФ.

13.Какой формулой можно описать КЛФ? Единственно ли такое опи-

сание?

14.Что такое «двузначная нелинейность»?

15.Как формулой описать двузначную КЛФ?

16.Назовите типовые нелинейности, описываемые однозначными

КЛФ.

17.Назовите типовые нелинейности, описываемые двузначными КЛФ.

30