Крючков Основы учёта,контроля 2007

где n – объем выборки, а

i=1

Если предполагаемое число значений в каждом интервале

больше 10 (т.е. npi > 10), то величина vi − npi распределена асим-

npi

птотически нормально.

Пусть существует некоторое χ2p , для которого χ2 > χ2p с веро-

ятностью p в случае n–1 степеней свободы, тогда следует считать, что данная выборка обнаруживает значимое отличие от гипотетического распределения, и тогда гипотеза Н0 отвергается. В против-

ном случае (χ2 < χ2p ) гипотеза принимается. Согласно этому правилу, вероятность отвергнуть правильную гипотезу равна p.

t–критерий (Стьюдента)

Этот критерий обычно используется для проверки, отлично ли среднее значение, полученное в результате расчетов, от некоторой

заданной величины (X = µ).

Если гипотеза справедлива, то величина t подчиняется распределению Стьюдента с (n–1) степенью свободы.

Пример. Пусть имеется группа людей со следующим ростом: 160, 160, 167, 170, 173, 176, 178, 178, 181, 181.

Пусть гипотеза Н0 состоит в том, что эти значения распределены по нормальному закону со средним значением 167 см, а гипотеза

Н1 – в том, что Х > 167.

211

Решение:

Таким образом, гипотеза отвергается.

Критерий Фишера

Критерий Фишера используется для проверки, не являются ли значимо различными дисперсии двух нормальных выборок.

При сравнении двух дисперсий удобно подвергать проверке от-

и сравнить эту величину с табличной для числа степеней свободы ν1 и ν2 и уровня значимости р.

Пример. Пусть имеются данные по тремлабораториям (табл. 4.4):

Выборочные исследования

Выборочное исследование применяется в тех случаях, когда проведение сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесообразно. В частности, когда проверка качества отдельных видов продукции или материалов связана с ее уничтожением (для ЯМ – разрушающий контроль).

Та проба или часть единиц, которая отбирается для исследования, называется выборкой (или выборочной совокупностью), а вся совокупность единиц, из которых производится отбор – генеральной совокупностью.

Цель выборочного контроля – сделать заключение о характере совокупности, основываясь на репрезентативной выборке, взятой из совокупности.

Наблюдения и измерения будут вестись только для выборки из генеральной совокупности. Очевидно, что качество результатов выборочного исследования зависит, в первую очередь, от того, насколько состав выборки представляет генеральную совокупность, иначе говоря, от того, насколько выборка репрезентативна (представительна).

Для обеспечения репрезентативности выборки необходимо соблюдение принципа случайности отбора единиц и проб. Принцип случайности предполагает, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять какой–либо иной фактор, кроме случая.

Существуют различные способы формирования выборки (выборочной совокупности) в зависимости от ее характеристик и характеристик генеральной совокупности [6].

Характеристики совокупности

Количественные:

•общее количество ядерного материала;

•средний уровень обогащения по 235U. Качественные:

•правильное применение устройств контроля несанкционированного доступа;

•номера на контролируемых единицах, которые должны совпадать с базой данных.

Для того чтобы выборка была репрезентативной, надо понимать, каким образом интересующая нас характеристика распределяется внутри совокупности:

•равномерно по всей совокупности;

214

•равномерно в пределах кластеров;

•равномерно внутри слоев;

•неизвестно.

План выборочного контроля включает следующие пункты.

1.Цель проведения выборочного контроля.

2.Анализ совокупности, которая будет объектом контроля, и ее характеристик.

3.Анализ ограничений и проблем статистического характера.

4.Анализ ограничений и проблем нестатистического характера.

5.Вычисление размера выборки.

6.Выбор стратегии проведения выборки.

Рассмотрим все пункты более подробно.

Цель проведения выборочного контроля:

•проверка ранее выполненных измерений;

•определение количества СЯМ, описанного в данном инвентарном перечне;

•проверка соответствия между записями в базе данных и инвентарным перечнем;

•выяснение правильности применения устройств индикации несанкционированного доступа.

Определение совокупности, которая будет объектом контро-

ля. При анализе совокупности следует определить характеристики, которые могут повлиять на выборку:

•определить, однородна ли совокупность с точки зрения данной характеристики;

•если совокупность неоднородна, однородны ли ее слои;

•как хранятся интересующие нас предметы;

•есть ли проблемы с точки зрения радиационной безопасности.

Статистические характеристики. Качественные (дискретные)

характеристики:

•размер совокупности;

•распределение данной характеристики внутри совокупности;

•необходимый уровень значимости;

•допустимое число дефектов.

Например, необходимо, чтобы исследование гарантировало нам с 95 % вероятностью, что не более 1 % элементов совокупности дефектны.

Количественные (непрерывные) характеристики:

•какое количество потерь надо считать значимым при их обнаружении;

•неопределенность, связанная с оценками;

215

•допустимое количество ошибок первого и второго рода (ошибка первого рода – ложное обнаружение потерь (отвергаем истинную гипотезу), ошибка второго рода – пропуск реальных потерь (принимаем ложную гипотезу)).

Все вышеизложенное в той или иной степени определяет размер необходимой выборки.

Нестатистические ограничения:

а) нормативные требования; б) требования безопасности;

в) ограничения, связанные с материальными ресурсами, в том числе с финансированием;

г) временные ограничения.

Размер выборки определяется следующими параметрами:

•размером исследуемой совокупности;

•максимальным допустимым количеством дефектов;

•уровнем значимости.

При проведении инспекции по проверке систем индикации несанкционированного доступа (ИНД) проверяют выполнение двух условий надежности.

Условие 1. Система записи должна точно отображать местонахождение и идентификацию по меньшей мере 99 % устройств ИНД.

Условие 2. Устройства ИНД должны правильно применяться не менее чем в 95 % случаев.

При проведении выборочного контроля доверительная вероятность берется 95 %.

Пример. Рассмотрим совокупность, состоящую из 2000 единиц. Попробуем определить минимальный размер выборки, при котором

с 95 % (т.е. α = 0,05) вероятностью можно проверить второе условие: не более 5 % элементов (т.е. не более 100) имеют дефекты.

Функция распределения вероятности наблюдения х дефектных элементов в выборке n элементов из совокупности, состоящей из N единиц, и имеющей всего D дефектных единиц, описывается гипергеометрическим распределением (4.21):

D N − D p(x) = x n − x ,

Nn

где в нашем случае: х = 0, 1, 2,…, min(D,n).

216

Очевидно, что наименьшая выборка будет для случая, когда допускается 0 дефектных единиц, тогда:

0,05 ≤ (1− nN )D ;

0,05 ≤ (1− n2000)100 →1− n 2000 ≥100 0,05 n = 2000 (1−0,97).

Получим n = 60.

Аналогично, можем определить размер выборки для проверки первого условия:

p = 0,05, N = 2000, d < 1 % = 20, x = 0.

N = 278,2 или, округляя до целых, n = 279.

Если число элементов в совокупности достаточно велико, то нужно продолжать проводить исследование, даже если обнаружена одна дефектная единица. Какова должна быть выборка, если допускаем наличие одного дефекта? Выборка должна быть такой, при которой с вероятностью 95 % при наличии 0 дефектов или одного дефекта можно было сказать, что общее число дефектов не превышает 1 %, то есть

217

Таблица 4.7

Определение минимального размера выборки для проверки второго условия в зависимости от допустимого числа дефектов в выборке

Если же все–таки дефекты были найдены, то надо принять корректировочные меры и повторить процесс выборочного исследования или провести 100 %–ную инвентаризацию.

Что касается размера выборки, то совершенно очевидно, небольшие выборки требуют меньших затрат, но менее информативны и имеют меньшие уровни значимости, в то время, как большие выборки достаточно информативны, имеют большие уровни значимости, но требуют значительно больших затрат.

218

Стратегия проведения выборки

Существует несколько вариантов проведения выборки, из которых необходимо выбрать тот, который даст максимум информации при минимуме затрат:

простая случайная выборка; систематическая случайная выборка; гнездовая (кластерная) выборка; стратифицированная случайная выборка; вероятностная выборка.

Сравним эти варианты.

Простая случайная выборка. Все элементы совокупности заносятся в список и нумеруются 1,…,N, где N – размер совокупности. Затем из этого списка случайным образом (например, с помощью генератора случайных чисел) выбираются n номеров, после чего из совокупности отбираются учетные единицы, соответствующие выбранным номерам.

Достоинства (+) и недостатки (–):

•выбор предметов из списка не представляет трудности (+);

•несмещенная оценка среднего и дисперсии (+);

•необходимо, чтобы элементы совокупности были идентифицированы и обозначены до проведения выборочного контроля (–);

•поиски выбранной единицы могут потребовать много времени

(–);

•могут быть неадекватно представлены важные, но немногочисленные подгруппы (–).

Систематическая случайная выборка. В этом случае отбира-

ется каждый k–й элемент совокупности. Достоинства (+) и недостатки (–):

•выбор предметов не представляет трудности (+);

•не требует знания общего количества всех элементов совокупности (+);

•может потребоваться упорядочивание элементов совокупности

(–).

Кластерная выборка. Кластеры ядерных материалов – скопления, обусловленные методом хранения ЯМ. Например, контейнеры, как правило, находятся на полках, стеллажах, или других специально приспособленных для этого местах, естественным образом

219

группируясь. Часто записи в журнале о каком–либо контейнере содержат информацию только о кластере, в котором он расположен, например, о номере помещения, полки, и т.п. Таким образом, рассмотрение кластеров как элементов совокупности, из которой необходимо сделать выборку, с последующей проверкой контейнеров в каждом отобранном кластере, может оказаться очень выгодным с точки зрения временных и материальных затрат.

Существует много вариантов кластерной выборки. Наиболее популярны одноэтапная и двухэтапная выборки.

При одноэтапной кластерной выборке собственно выборка проводится среди кластеров, а внутри каждого кластера проводится сплошная проверка. При двухэтапной кластерной выборке выборка проводится как между кластерами, так и внутри кластеров. В последнем случае проверяется меньше учетных единиц в каждом кластере, но зато контролируется больше кластеров. К недостаткам можно отнести необходимость иметь информацию о каждом контейнере в каждом кластере.

Достоинства (+) и недостатки (–):

•может сэкономить время и финансы, особенно для больших совокупностей с выраженной гнездовой структурой (+);

•могут выпасть из поля зрения важные кластеры (–);

•если элементы кластера однородны, то неопределенность параметров будет занижена (–).

Стратифицированная выборка. Страта – однородный матери-

ал. ЯМ можно стратифицировать по обогащению и содержанию урана, физической или химической форме, по способу измерения. Процедуру стратификации можно разделить на пункты:

1) получить полную информацию по всем учетным единицами генеральной совокупности: типы ЯМ, приблизительное количество ЯМ (по элементу или изотопу), обогащение; информацию о местоположении контейнеров, ожидаемые погрешности измерений;

2) сгруппировать единицы по некоторому количественному признаку, например по обогащению, содержанию определенного изотопа, по концентрации урана и т.п.;

3) если в генеральной совокупности присутствуют разные типы

ЯМ (UF6, UO2), разделить группы, получившиеся в п.2, на подгруппы по типу материала;

220