Крючков Основы учёта,контроля 2007

часто используется в практической деятельности, и во многих случаях обеспечивает результаты, близкие к действительности. Следует помнить, что любая модель – математическое описание действительности. Опыт показывает, что человек в своей практике предпочитает более простые модели, иногда даже в ущерб более подробному и адекватному описанию действительности. Поэтому простые модели очень широко применяются.

Пусть, например, х – измеренное значение веса брутто контейнера с порошком UO2, г; µ – истинное значение этой величины; ε – погрешность, тогда х = µ + ε.

Таким образом, сумма истинного значения и погрешности дала бы измеренное значение. Если проводить ряд измерений со стандартными образцами известной массы µ, записывая их измеренное значение х, то по результатам этих измерений можно сконструировать функцию распределения ε.

Мультипликативная модель. Описание результата измерений простой суммой истинного значения и погрешностей очень часто дает приемлемое описание реальной ситуации, но не всегда. Если абсолютная погрешность измерения растет с увеличением измеряемого значения, то применяется так называемая мультипликативная модель.

Допустим, у – измеренное значение концентрации урана в UO2, α – истинная величина, η – погрешность измерения.

Тогда у = α + η. Пусть нас интересует чистый вес урана в контейнере из предыдущего примера, а не вес оксида. Перемножив х и у, получим ху = µα + µη + αε + εη, что уже не является простой аддитивной моделью.

В этом случае удобнее воспользоваться мультипликативной моделью:

x = µ (1+ε), у = α (1+η).

Тогда выражение для массы урана будет выглядеть следующим образом: ху = µα (1+η)(1+ε). Очевидно, последнее выражение гораздо проще, нагляднее и удобнее с точки зрения вычисления погрешности. Таким образом, хотя аддитивная модель часто удобна в использовании, не следует применять ее абсолютно во всех ситуа-

201

циях, так как суммарный эффект нескольких погрешностей не всегда является простой их суммой.

Оценка погрешностей измерений ЯМ

Достоверная оценка погрешностей измерений ядерных материалов необходима для оценки значимости выявленных инвентаризационных разниц. Эта оценка зависит от принятых моделей расчета погрешностей и интерпретации «случайной» и «систематической» погрешностей.

Результаты контрольных измерений должны удовлетворять требованиям по точности и прецизионности. Прецизионность характе-

ризуется повторяемостью и воспроизводимостью результатов из-

мерений.

Повторяемость определяется дисперсией (разбросом) результатов, полученных одним оператором при измерениях одного образца в одинаковых условиях. Воспроизводимость определяется дисперсией результатов измерений одного образца, проведенных несколькими операторами в течение нескольких дней в разных условиях.

Точность результата определяется величиной систематической погрешности измерений. Величина систематической погрешности может быть оценена как средняя (в смысле математического ожидания) разность между измеренными значениями и истинным значением (4.40). Малая величина систематической погрешности результата равносильна его высокой точности.

Основные принципы расчета погрешности результатов измерений:

1)полную погрешность результата измерений следует вычислять, как сумму случайной и систематической погрешностей, приведенных к одинаковой доверительной вероятности;

2)значения всех погрешностей обычно приводятся к доверительной вероятности 0,95;

3)при вычислении случайной погрешности результата следует считать, что соответствующие величины распределены по нормальному закону;

202

4) систематическую погрешность результата измерений следует считать в предположении равномерного (равновероятного) закона распределения составляющих величин.

Принятые обозначения.

1.Согласно ГОСТу для погрешностей величины х, приведенной

кдоверительной вероятности 0,95, следует использовать следующие обозначения: случайная погрешность – S(x), систематическая –

θ(x), полная – δ (x).

2.При выборе доверительной вероятности р, не равной 0,95,

следует применять запись рS(x), рθ (x), рδ (x).

3. Абсолютную погрешность результата измерений следует обо-

значать ∆S, ∆θ , ∆.

4. Окончательный результат измерений следует представлять в виде: х = Х, δ =… %, θ =… %, р = 0,95, где Х – средневзвешенное значение измеренной величины х, θ – максимальная граница неисключенного остатка систематической погрешности определяемой величины х.

Прямые измерения

1. Оценка результата при большом (n > 3) числе измерений величины х:

где рS(x) = pts S(x) – коэффициент приведения к доверительной вероятности P , коэффициент Стьюдента (табл. 4.2), [3]и [8].

2. Оценка результата при единичных измерениях величины х (n≤3). Единичным измерениям величины х должно предшествовать метрологическое исследование применяемого средства измерения. При таком исследовании проводят многократные (N > 20) замеры некоторой величины a, аналогичной величине х, и определяют σ для полученного набора значений аi:

N

∑ai

где A = i=N1 .

При последующих измерениях величины х результат оценивают следующим образом:

где Kσ – коэффициент, учитывающий различные статистические значимости результатов при исследовании измеряющего средства и при измерении величины х:

при исследовании средства измерений и при определении х.

Косвенные измерения

1. Оценка результата измерений величины y = f (x1, x2,…, xn) в единичном опыте:

•исходные данные – измеренные значения xi, а также случайная

исистематическая погрешности составляющих величин S(xk) и θ

(xk);

•погрешности составляющих величин, входящих в формулу для

определения величины у, но не измеренные в данном эксперименте (константы, коэффициенты, результаты аттестаций), следует трактовать как θ(xk);

• оценку результата Y выполняют по следующей формуле:

Y = y,

Полная погрешность результата измерений δ(Y) = S(Y)+θ (Y).

205

Часто либо S(Y)>>θ (Y), либо θ (Y)>>S(Y). В этих случаях формула для расчета погрешностей упрощается.

2. Оценка результата измерений величины y = f (x1, x2, …, xn) в многократном опыте:

• исходными данными для оценки величины Y являются значения уi, полученные в результате измерений, а также случайные погрешности S(yi) и систематическая погрешность θ (Y), рассчитанная

водном из опытов;

•результат определения величины Y следует оценивать следующим образом:

δ (Y ) = S(Y ) +θ(Y ) ,

в последнем равенстве расчет θ (Y) проводится как в предыдущем случае.

Расчет погрешности ИР

Система учета ЯМ, как и любых других материалов и ценностей, основана на составлении баланса, а одной из важнейших задач является проведение инвентаризации, обработка и статистический анализ полученных результатов – определение статистической значимости. Сделаем основные предположения, необходимые для анализа значимости ИР:

• можно с хорошей степенью достоверности считать, что ИР подчиняется нормальному закону распределения с математическим

ожиданием равным нулю и дисперсией σ2ИР ;

206

• доверительный интервал должен быть выбран в соответствии с нормативными документами и требованиями [4]. Таким образом, для принятия решения о возможных аномалиях достаточно рассчи-

тать значение ИР и дисперсию σ2ИР .

Однако в связи с важностью задачи рассмотрим более подробно порядок и методологию оценивания статистической значимости ИР для целей обнаружения аномалий при подведении материального баланса в ЗБМ.

Определение ИР и оценивание ее статистической значимости проводят по результатам физической инвентаризации и, говоря об аномалии, в данном случае мы будем понимать только аномалию в виде превышения модулем ИР предельных значений установленных в ОПУК [4].

Для расчета дисперсии ИР уравнение представляют в виде функции:

входных величин – результатов прямых или косвенных измерений (расчетов или иного определения) параметров ядерных материалов (концентраций, объемов, содержаний, весов, масс и т.д.) x1,..., xn ;

случайных отклонений этих параметров r1,...,rn , обусловленных случайными погрешностями измерений параметров;

систематических отклонений параметров s1,..., sn , обусловлен-

ных неисключенными составляющими систематических погрешностей измерений параметров:

ИР = f (x1,..., xn ; r1,..., rn ; s1,..., sn ) .

Дисперсия ИР будет определяться следующим выражением:

Дисперсию или суммарную среднеквадратическую погрешность ИР получают разложением в ряд Тейлора функции ИР около математических ожиданий входных величин, ограничиваясь только ли-

207

нейными членами этого разложения. Частные производные берутся в точке x1,..., xn . Причем отклонения и дисперсии измерений пара-

метров, фактически наличных на момент инвентаризации ЯМ в продуктах, оставшихся неизменными с момента предыдущей инвентаризации и не подвергавшихся учетным измерениям в течение данного меж балансного периода, не учитывают. Оценивание статистической значимости ИР заключается в проверке выполнения двух условий [4]:

непревышение модулем ИР значения утроенной среднеквадратической погрешности ИР;

непревышение значением ИР установленных пороговых количеств (G) при доверительной вероятности 0,95.

Превышение модулем ИР утроенной среднеквадратической погрешности ИР:

ИР 3σИР ,

свидетельствует о том, что в системе учета и контроля присутствует аномалия. Нарушение второго условия:

ИР G + 2σИР ,

свидетельствует о том, что в системе учета и контроля присутствует аномалия, выраженная в превышении пороговых количеств ядерных материалов.

4.4.Проверка гипотез и выборочные исследования

Впроцессе измерений периодически приходится принимать решения по значимости полученных результатов измерений. Например, расходятся или нет результаты нескольких серий измерений, согласуются или нет результаты измерений в нескольких лабораториях, значимо или нет значение ИР.

Окончательное решение о значимости может быть вынесено после проверки гипотезы. Например, значительно ли ИР превышает нуль в течение данного периода времени на данной установке.

Пусть Н0 – нулевая гипотеза, состоящая в том, что ИР≤0; Н1 – альтернативная гипотеза, состоящая в том, что ИР>0.

208

Статистическая проверка некоторой гипотезы относительно набора экспериментальных данных сама по себе не дает доказательств, правильна или ложна эта гипотеза. Подобная проверка лишь указывает степень согласия гипотезы с результатами эксперимента.

Проверка гипотезы заключается в вычислении некоторого критерия и сравнении его значения с табличным. Таким образом, при проверке нулевой гипотезы Н0 возможны следующие ситуации:

1)справедлива гипотеза Н0 и критерий допускает Н0;

2)справедлива гипотеза Н0, но критерий отвергает Н0;

3)справедлива гипотеза Н1 и критерий отвергает Н0;

4)справедлива гипотеза Н1, но критерий допускает Н0.

Только в случаях 1 и 3 проверка гипотезы приводит к правильному результату. Вероятность ошибки первого рода (случай 2) численно равна уровню значимости α, задаваемому при проверке гипотезы. Если вероятность ошибки второго рода (случай 4) равна β, то величину 1–β называют мощностью критерия. Часто мощность критерия удается увеличить лишь за счет увеличения α. Иными словами, возможен компромисс между уровнем значимости и мощностью критерия, причем иногда большая мощность оказывается существеннее малого α.

Обычно проверяются несколько основных типов гипотез.

1.Описываются ли результаты измерений данным распределением?

2.Значимо ли различие между двумя средними значениями?

3.Являются ли значимо различными дисперсии нескольких серий измерений?

Критерий χ 2

Иногда бывает необходимо для заданной случайной выборки хi (i = 1, 2,…, n) случайной величины Х проверить гипотезу о том, что функция f(x) является плотностью вероятности для Х. Для получения меры отклонения имеющихся данных от ожидаемых согласно гипотетическому распределению используется величина χ 2. Критерием для проверки гипотезы служит сопоставление χ 2 с таблич-

209

ным значением χ 2р, которое соответствует заданному р–про– центному уровню значимости.

Прежде всего, весь диапазон значений Х в данной выборке разбивается на m неперекрывающихся интервалов; m определяется по одной из следующих формул:

m = log2 n +1; m = 5lg n;

m = n;

m =1,9 n0,4 ,

или из табл. 4.3.

Таблица 4.3

Рекомендуемое число интервалов разбиения в зависимости от числа событий

Длина интервала: d =1,02 Xmax − Xmin . m

Границы интервалов определяются следующим образом:

X min − D; X min + d − D;

............................................................

где D = 0,01d.

Число значений, попадающих в i интервал, равно νi. Если νi <5, то интервалы объединяются. Пусть pi – гипотетическая вероятность того, что Х принимает значение, относящееся к i интервалу. Тогда

210