Крючков Основы учёта,контроля 2007

имеет χ2 –распределение, но с п–1 степенями свободы.

Или еще одна трактовка (схема) распределения Пирсона. Пусть производится п независимых испытаний (полиномиальная схема или схема Бернулли), в каждом из которых с вероятностью рi может произойти одно из событий Аi (I = 1,…,L). Обозначим через тi число появлений события Аi. Тогда из многомерного аналога интегральной теоремы Муавра–Лапласа следует, что случайная величина:

при n → ∞ асимптотически распределена по закону χ2 с L – 1 степенями свободы.

t–распределение. Пусть ξ и χ2 – независимые случайные величины, причем ξ распределена по стандартному нормальному закону, а χ2 имеет распределение Пирсона с п степенями свободы.

Распределение случайной величины τ =ξ / χ2 / n называется

t–распределением с п степенями свободы (распределение Стьюдента).

Это распределение имеет плотность

где Г(т) – гамма–функция.

Пусть ξ1,...,ξn – независимые случайные величины, одинаково распределенные по нормальному закону со средним а. Положим

181

Очевидно, что для независимых величин: M(X–M(X))(Y–M(Y)) = = M(XY)–M(X)M(Y) = 0.

Для зависимых величин вводится понятие ковариации (совместной вариации) случайных величин Х и Y:

cov(X,Y) = M((X–M(X))(Y–M(Y))) = M(XY)–M(X)M(Y). (4.34)

А дисперсия в этом случае определяется, как

Отметим, что по сути ковариация это совместный центральный момент первых порядков.

Из (4.34) следует, что ковариация имеет следующее свойство:

cov(X,X) = M((X–M(X))(X–M(X))) =D(X).

Действительно, ковариация (коэффициент ковариации) в известной степени является мерой связи (зависимости) случайных величин, поскольку обладает следующими свойствами:

•для независимых случайных величин ковариация равна нулю;

•для случайных величин Х и Y, имеющих тенденцию колебаться в одну сторону, он положителен; для имеющих противоположную тенденцию – отрицателен.

Однако этот коэффициент может принимать значения на всей числовой оси, поэтому не вполне пригоден и удобен для измерения степени зависимости. В этом смысле более удобен нормированный коэффициент ковариации (так называемый коэффициент корреляции) который обычно вводится, как

Действительно:

•для независимых случайных величин x и y, ρ(x,y)= 0, так как ковариация равна нулю;

•для линейно зависимых случайных величин | ρ | = 1;

183

• для всех остальных коэффициент корреляции меняется от –1

до +1 (–1< ρ <+1).

Заметим, что чем ближе | ρ | к 1, тем с большим основанием можно считать, что X и Y находятся в линейной зависимости.

Строго говоря, если коэффициент корреляции равен нулю, то это не всегда означает независимость случайных величин. В этом случае говорят, что величины некоррелированы (или не коррелируют). Из независимости строго вытекает некоррелированность, но наоборот – не всегда. Однако строго показано, что для нормально распределенных случайных величин свойства некоррелированности и независимости эквивалентны.

Таким образом, полностью охарактеризовать функцию от случайных величин или многомерную случайную величину можно только ковариационной матрицей, например для случая X1 и X2:

Закон больших чисел

Давно замечено, что среднее арифметическое значение числовых характеристик случайных событий (относительная частота) в большом числе таких однородных событий подвержено незначительным изменениям. В среднем как бы проявляется закономерность, присущая существу явлений, в ней взаимно погашаются влияния отдельных факторов, которые делали случайными результаты единичных наблюдений.

Неравенство Чебышева

Одной из математических форм закона больших чисел является неравенство Чебышева: вероятность того, что отклонение случайных величин от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной

величине ε > 0, будет не больше отношения ее дисперсии к ε2 .

184

Пусть Х – случайная величина, а – ее математическое ожидание, D(х) – дисперсия, тогда

Неравенство Чебышева дает нетривиальную оценку вероятности события Х −а ≤ ε лишь в случае, если D( X ) <ε2 , в других случа-

ях оценка тривиальна и не информативна.

Следствие. Если независимые случайные величины имеют одинаковые, равные а, математические ожидания, дисперсия ограничена одной и той же константой с, число велико, то для ε > 0 вероятность отклонения среднего арифметического этих случайных величин от а сколь угодно близка к единице:

Данное следствие является наиболее простой формой закона больших чисел. На практике это значит, что за приближенное значение неизвестной случайной величины принимают среднее арифметическое результатов измерений. При условии, что число измерений достаточно велико, это и будет обоснованием с точки зрения (4.39) важного практического вывода. Требование равенства математического ожидания одной и той же величине а необходимо для того, чтобы показать отсутствие так называемой систематической составляющей погрешности измерений.

Предельные теоремы

Если число случайных величин велико и удовлетворяет некоторым весьма общим условиям, то, как бы они не были распределены, практически достоверно, что их среднее арифметическое сколь угодно мало отклоняется от постоянной величины – среднего арифметического их математических ожиданий, т.е. является практически постоянной величиной.

185

Так, широко применяемый выборочный метод, позволяющий делать выводы о генеральной совокупности по результатам исследования ограниченной выборки, находит свое научное обоснование в законе больших чисел:

число зерен в пробе (мере) – п достаточно для того, чтобы судить о всей партии зерна – N, число исследованных учетных единиц (например, ТВС) – п достаточно для того, чтобы судить о всей партии ТВС – N, т.е. достаточно для проявления закона больших чисел с удовлетворительной точностью, хотя n < N, но n – достаточно велико и закон срабатывает.

Можно показать, что сумма любого конечного числа нормально распределенных независимых случайных величин распределена нормально. Тогда, если независимые случайные величины не распределены по нормальному закону, или вообще распределены не известно как, то оказывается можно наложить на них некоторые весьма нежесткие ограничения так, что их сумма будет распределена нормально. Это и есть суть так называемых предельных теорем. Теорема Ляпунова является одной из форм центральных предельных теорем [3].

4.2. Основные требования статистического характера к СУи К ЯМ

Модернизация и развитие системы учета и контроля ЯМ предусматривает существенное повышение роли измерений в определениях и подтверждениях наличных количеств ЯМ. Выводы о количествах ЯМ на фоне неопределенностей, присущих измерениям, возможны лишь при использовании статистических методов и применении статистических критериев [4] .

Рассмотрим основные виды неопределенностей, присущие У и

КЯМ:

•неопределенность, присущая применяемым методам измерений;

•неопределенность, присущая объектам измерений;

•неопределенность, присущая расчетным методам;

•неопределенность вследствие применения процедуры выборки;

•неопределенность, присущая «документальным» данным о

ЯМ.

Подчеркнем еще раз, при всех операциях по проверке наличия и сохранности ЯМ решающее значение имеют измерения. При этом

186

принципиально важно достичь требуемого уровня точности результатов измерений, что обеспечит контроль за ядерными материалами на необходимом уровне. Анализ неопределенностей и оценка погрешности результатов измерений и поиск путей ее снижения – одна из важнейших задач МС. Как правило, результат контрольного измерения отклоняется от заявленного значения измеряемой характеристики контролируемого ЯМ. Причиной расхождения может быть либо статистически оцененная неопределенность – погрешность результата измерения, либо действительно наблюдаемое различие между измеренным и заявленным значениями. Окончательное суждение о причине расхождения можно сделать только с помощью статистического анализа на основе принятых статистических критериев.

Необходимость использования статистических методов при проведении инспекций возникает также в связи с временными и финансовыми ограничениями. На период проведения инспекции приходится останавливать производство, что ведет к экономическим потерям. В подобных случаях прибегают к выборочной проверке, когда измерения проводят лишь с частью единиц. Для рационального планирования объема и последовательности выборки также применяют МС.

Основная цель учета и контроля ЯМ – достоверная прослеживаемость ЯМ – может быть достигнута только путем широкого применения статистических и вероятностных методов.

Основой как для определения наличных количеств ЯМ в ЗБМ, так и для выявления аномалий в использовании ЯМ, являются физические инвентаризации ЯМ. В процессе физических инвентаризаций ЯМ выполняются проверки данных бухгалтерского учета и измерения фактически наличных количеств ЯМ в зонах материального баланса. Подведение баланса, определение инвентаризационной разницы (ИР) и оценки ее погрешности для каждого ЯМ.

Выводы об отсутствии аномалий в использовании ЯМ, недостатков в системе их учета и контроля делаются на основе статистических критериев – статистических правил принятия решений, исходя из полученной величины ИР, ее погрешности и установленных правилами величин вероятностей, обнаружения недостачи/излишка пороговых количеств ЯМ. Выделим еще раз те прин-

187

ципы учета и контроля ядерных материалов, которые определяют требования статистического характера:

•ЯМ подлежат государственному учету и контролю, начиная с минимальных количеств;

•ЯМ классифицируются по категориям в зависимости от количества, вида и формы продукта, содержащего ЯМ;

•на предприятиях организуются ЗБМ;

•в каждой ЗБМ определяются ключевые точки измерений

(КТИ);

•к ЯМ применяются средства контроля доступа (СКД), продлевающие достоверность результатов ранее выполненных измерений;

•учет ЯМ основывается на результатах измерений количественных характеристик и атрибутивных признаков ЯМ;

•измерения могут быть учетными или подтверждающими. Статистические критерии применяются для:

•определения аномалий при подтверждающих измерениях;

•выборочных проверок устройств индикации доступа в промежутке между инвентаризациями;

•определения аномалий в учете ЯМ посредством анализа инвентаризационной разницы;

•определения аномалий при операциях передачи ЯМ;

•ограничения (сверху) неопределенности подтверждающих измерений выборок ЯМ;

•подтверждения достоверности учетных записей.

Уточним некоторые специальные понятия и дадим соответствующие определения.

Принцип практической уверенности и доверительная вероятность

Если в определенных условиях вероятность события мала, то при однократном их выполнении можно быть уверенным, что событие не произойдет. Таким образом, в практической деятельности можно считать такое событие невозможным. Однако нельзя на практике вывести такую верхнюю границу вероятности, при которой можно считать события невозможными. Важно учитывать и размер последствий рассматриваемых событий. Вероятность, кото-

188

рой решено пренебрегать в данном исследовании, будем называть уровнем значимости.

В статистике уровень значимости обычно принимается:

~0,05 при предварительных оценках;

~0,001 при окончательных выводах.

Понятие уровня значимости тесно связано с понятием доверительной вероятности: доверительной вероятностью назовем такую вероятность α, при которой события вероятности 1–α можно считать невозможными.

Доверительный интервал

Введем понятие доверительного интервала, которое тесно связано с введенным ранее понятием доверительной вероятности.

Вследствие случайности результатов измерений невозможно установить достаточно узкие пределы, из которых погрешность оценки (т.е. отклонение оценки от оцениваемой характеристики) не выходила бы с полной гарантией. Поэтому возникает задача определения таких пределов, из которых погрешность оценки не выходила бы с заданной вероятностью. Например, если Р – оценка вероятности события р, необходимо установить по результатам тех же измерений такую границу возможных отклонений Р от р, которую модуль ошибки P − p не превосходил бы с заданной вероятно-

стью α. Эта граница будет тоже случайной в силу случайности результатов измерений.

Таким образом, речь идет о нахождении по результатам измерений такого случайного интервала (т.е. интервала со случайными границами), который с заданной вероятностью α содержал бы неизвестное значение вероятности р. Такой случайный интервал, полностью определяемый результатами измерений, называется доверительным интервалом для данной характеристики, соответствующим доверительной вероятности α. Величина 1−α называется уровнем значимости отклонения оценки.

Для каждой величины массы ЯМ определяются с помощью учетных измерений (а при их невозможности – с помощью расчет- но–экспериментальных оценок на основе предыдущего опыта эксплуатации) и документально регистрируются среднее значение массы ЯМ, значение доверительного интервала случайной погрешности ее измерения и границ неисключенной систематической по-

189

грешности измерения, исходя из доверительной вероятности, рав-

ной 0,99.

Эти значения могут использоваться при выполнении учетных процедур (физических инвентаризаций, передач ЯМ и др.) только в тех случаях, когда их достоверность с момента их определения до момента их использования была продлена надлежащим применением СКД и подтверждена в процессе выполнения учетной процедуры измерениями количественных параметров ЯМ и/или атрибутивных признаков ЯМ (т.е. результатами подтверждающих измерений).

Доверительными границами погрешности результата измерений будем называть наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое значение погрешности результата измерений.

Учетные измерения – измерения количественных характеристик и атрибутивных признаков ЯМ, учетных единиц, продуктов, результаты которых, включая погрешность измерений, вносятся в учетные документы как паспортные значения. Последующее учетное измерение отменяет результат предыдущего.

Подтверждающие измерения – измерения, результаты которых используются для подтверждения всех или некоторых количественных характеристик и/или атрибутивных признаков ЯМ, учетных единиц, продуктов, полученных ранее в учетных измерениях, а затем достоверно сохраненных путем применения средств контроля доступа к ЯМ. Если разность величин измеряемой количественной характеристики для подтверждающего и учетного измерений не превосходит стандартные погрешности ее измерения, принимается паспортное значение характеристики. В противном случае выполняется расследование расхождения и проводятся учетные измерения этого ЯМ. Подтверждающие измерения могут проводиться выборочно или для всего ЯМ.

Объем применения подтверждающих измерений определяется в зависимости от объема применения СКД и результатов проверки их состояния, исходя из вероятностей обнаружения недостачи/излишка пороговых количеств для каждого ЯМ.

Статистическая значимость разницы между результатами учетных и подтверждающих измерений количественных параметров ЯМ, учетных единиц, продуктов устанавливается, исходя из дове-

190