Крамер-Агеев Безопасност жизнидеятелности 2011

опасной зоны составляет 30 мин. Если в момент взрыва путник окажется в опасной зоне, то он будет поражен.

Определить вероятность поражения путника.

Ответ: 3/16.

Подсказка. Задачу рекомендуется решить графически, рассмотрев разность двух случайных величин (моментов времени).

13.Интенсивность потока отказов некоторого изделия с момента включения его в работу увеличивается со временем t по закону: λ(t) = 1 – exp(–αt), α = const. Определить вероятность безотказной работы изделия при заданном времени безотказной работы Т.

14.Некоторое изделие АЭС представляет собой совокупность трех элементов с интенсивностью потоков отказов в них, соответ-

ственно: λi =i(N +10) 10−6 [ч-1]; i = 1; 2; 3.

Отказы в элементах – независимые. Отказ изделия наступает при отказе хотя бы одного элемента.

Определить время безотказной работы изделия при вероятности безотказной работы равной 0,99.

15.Решить задачу 14 при условии: изделие становится отказавшим, когда откажут все три его элемента.

16.Решить задачу 14 при условии: изделие становится отказавшим, когда откажут любые два его элемента.

17.Элемент изделия с индексом i = 1, указанный в задаче 14, задублирован двумя элементами с одинаковыми показателями надежности для всех трех элементов задублированной группы. Дублирующие элементы включены в работу в режиме ненагруженного («холодного») резерва, без восстановления отказавших элементов.

Определить вероятность безотказной работы изделия при ее продолжительности равной 105 ч.

18.В условии задачи 17 изменить режим работы резервных элементов на нагруженный («горячий»), без восстановления.

Построить граф состояний задублированного элемента, записать уравнения Колмогорова, достаточные для решения вопроса, поставленного в задаче 17.

19.Выполнить задачу 18 при условии: режим работы резервных элементов – ненагруженный с восстановлением. Время восстановления – случайно, поток восстановлений каждого отказавшего элемента – пуассоновский интенсивностью μ.

21

20.Выполнить задачу 19, заменив в нем слово «ненагруженный» на «нагруженный».

21.С целью обеспечения надежности одного из функциональных блоков некоторого производственного комплекса предусмотрено дублирование данного блока. В рабочем режиме находится лишь один блок и в этом режиме в нем случаются отказы. Поток

отказов является случайным пуассоновским интенсивностью λ. В резервном блоке в «холодном» режиме отказы не происходят. При отказе работающего блока в работу немедленно автоматически включается резервный, а отказавший блок поступает на ремонт. Среднее время восстановления отказавшего блока равно τ, поток событий восстановления блока – случайный, пуассоновский. Найти вероятность того, в процессе длительной эксплуатации производственного комплекса, в произвольный момент времени, он окажется неработающим по причине отказа в нем обоих блоков. Ремонтная бригада единственна и одновременно может заниматься восстановлением только одного блока.

Ответ: (λτ)2 / (1+λτ+(λτ)2 ) .

22. Решить предыдущую задачу при условии, что в нормальном режиме работы комплекса оба задублированных комплекса включены в рабочий режим, отказы в них возникают независимо, с интенсивность λ в каждом, а комплекс сохраняет работоспособность при исправности хотя бы одного из зарезервированных блоков.

Ответ: (λτ)2 /{2[1+λτ+(λτ)2 / 2]} .

23. Для оказания скорой медицинской помощи жителям некоторого населенного пункта создано медицинское учреждение с числом выездных бригад равным m. За одни сутки за медицинской помощью в учреждение поступает в среднем k вызовов, их поток – пуассоновский. Продолжительность обслуживания бригадой одного вызова – величина случайная, ее среднее значение равно τ, соответствующий поток обслуживаний – также пуассоновский.

Определить вероятность того, что на обращение нуждающегося в медицинской помощи будет немедленное реагирование, т.е. в момент обращения в учреждении будет хотя бы одна не задействованная выездная бригада.

Возможные значения параметров задачи:

m = 3; 4; 5; 6; τ = 1; 2; 3; 4; 5 ч; k = 10; 15; 20 сут.-1.

22

Ответ (при условии, что m = 3, τ = 3 ч, k = 10 сут.-1): 0,104.

24.N + 10 однотипных последовательно включенных элементов составляют рабочий блок некоторого агрегата. При отказе любого элемента блок становится неработоспособным. Поиск отказавшего элемента производится путем проверки работоспособности произвольно выбираемых участков последовательно включенных элементов. Если участок оказывается неработоспособным, делается вывод: отказавший элемент находится в контролируемом участке.

Какой тактики поиска отказавшего элемента следует придерживаться, чтобы число контрольных операций по проверке работоспособности участков элементов оказалось минимальным?

Чему равно минимальное число контрольных операций, создающих возможность однозначно определить отказавший элемент?

Ответ: минимальное число операций равно log2(N + 10).

25.Проектный гарантированный срок работы производственного агрегата составляет 5 лет при вероятности безотказной работы равной 0,95. Определить вероятность того, что агрегат будет безот-

казно работать ровно N лет. Поток отказов считать пуассоновским.

Ответ: 0,95N/5.

26.Вероятность безотказной работы некоторого технического устройства P(t) убывает по линейному закону от единицы при t = 0 до нуля при t = T.

Найти зависимость интенсивности отказов от времени, среднее время безотказной работы и значение гарантийного срока службы устройства, если требуемая надежность не должна быть ниже 0,90.

P(t) = 0,90, можно найти гарантийный срок службы. Далее можно воспользоваться соотношением из (1.1.7) для определения λ(t). Наконец, используя(1.5), можноопределитьсреднеевремябезотказнойработы.

27.Интенсивности потоков отказов для пяти элементов систе-

мы, изображенной на рис. 1.1.3, постоянны во времени и равны, соответственно, 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 и 0,5 год-1. Определить вероятность безотказной работы системы при непрерывной работе системы в течение одного года.

28.Решить задачу 19 при дополнительном условии: для одного из элементов системы предусмотрено резервирование двумя дополнительными элементами (конкретный задублированный элемент вы-

23

брать самостоятельно). Все дублирующие элементы идентичны с основными и функционируют в режиме «горячего» резерва.

29. Решить задачу 20 при измененном условии: дублирующие элементы функционируют в режиме «холодного» резерва.

30. Воспользуемся соотношением (1.1.14). Пусть X = A r−a ;

Y = B rb . Определить, при каких соотношениях между постоянными параметрамиA, B, a, b производственнаядеятельностьцелесообразна.

Контрольные вопросы

1.Пояснить понятие «ущерб», способы его количественного выражения, привести пример.

2.Пояснить понятие «риск» и способы его количественного выражения с помощью трех расширенных понятий риска.

3.Пояснить понятие «социальный риск».

4.Какими тремя фундаментальными свойствами обладает стационарный пуассоновский поток случайных событий?

5.По какой логике формируются эрланговские потоки случайных событий и как по статистическим данным можно определить порядок эрланговского потока?

6.Как соотносятся между собой среднее значение и дисперсия для времени между событиями пуассоновского потока?

7.Записать и пояснить формулу Пуассона для случайного пуассоновского поля событий.

8.Записать в общем виде дифференциальное уравнение Колмогорова для вероятности произвольного состояния случайного процесса, заданного размеченным графом состояния.

9.В какие соотношения преобразуются дифференциальные уравнения Колмогорова при бесконечной продолжительности случайного беступикового процесса?

10.Как развивается случайный процесс, если граф состояний имеет тупиковые состояния?

11.Пояснить логику приведения размеченного графа состояний, содержащего эрланговские потоки случайных событий, к графу состояний с пуассоновскими потоками событий (введение «псевдосостояний»).

24

2.ИСТОЧНИКИ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ

ИДОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИХ ПОЛЕЙ

Начальные представления об ионизирующем излучении. Дости-

жение выше обозначенной цели данного занятия будет более результативным, если в процессе его проведения возникающие идеи решений предлагаемых заданий исполнитель будет умозрительно согласовывать с фундаментальными физическими закономерностями, присущими ионизирующим излучениям. Имея это в виду, приведем предельно сжатое и, следовательно, упрощенное описание базовых основ физики ионизирующих излучений.

Вещество окружающего мира состоит из атомов, размер которых имеет порядок 10-8 см, и большая часть их массы сосредоточена в ядре, имеющем размер порядка 10-13 см. Главными идентифицирующими признаками атома являются два параметра: число Z (количество протонов в ядре атома, оно же число электронов, вращающихся вокруг ядра) и массовое число – А (округленное до целого числа масса ядра, выраженная а.е.м., оно же – количество протонов и нейтронов в ядре атома). Атом с конкретными значениями Z и А именуется нуклидом. Если химическим символом некоторого атома является Х, то соответствующий нуклид принято обозначать

так: ZA X . Нуклиды, способные спонтанно излучать ионизирующие

частицы, называются радионуклидами. Нуклиды с одинаковым значением Z, но разным числом А, называются изотопами. Нуклиды с одинаковым значением А называются изобарами. Нуклиды, имеющие одинаковое число нейтронов (или число А – Z), называ-

ются изотонами.

Всего в настоящее время известно около 2000 радионуклидов, из которых около 300 находят применение в хозяйственной деятельности – промышленности, сельском хозяйстве, медицине, биологии и т.д. Большинство радионуклидов являются искусственно полученными. Полный изотопно-изобарный (точнее, протонно-нейтронный) спектр известных в настоящее время нуклидов приведен на рис. 2.1, который, по существу, можно назвать «построенной в шеренги» таблицей Д.И. Менделеева. Цвет, в который окрашена клетка каждого нуклида, указывает на степень его стабильности. Например, в чер-

25

ный цвет окрашены клетки стабильных нуклидов, чем светлее цвет клетки нуклида, тем нестабильнее сам нуклид.

Рис. 1.2.1. Изотопно-изобарный спектр известных в настоящее время нуклидов

Превращения нуклидов сопровождаются испусканием элементарных частиц, которые обладают способностью ионизировать среду, через которую они проходят, а само явление самопроизвольного превращения нуклидов называется радиоактивностью. Скорость распадов радиоактивных атомов принято характеризо-

вать постоянной распада λ, а также периодом полураспада Т1/2.

Основные типы радиоактивных превращений нуклидов показаны на рис. 1.2.2.

На рис. 1.2.3 в качестве примеров приведены схемы радиоактивных превращений:

а – простого (одноактного); б – цепочного (многоактного), когда образующиеся нуклиды

(дочерние), в свою очередь, подвержены радиоактивным превращениям до такой стадии, пока очередной дочерний нуклид окажется стабильным.

На рис. 1.2.3, а ядро материнского радионуклида, распадаясь, испускает электрон и два фотона с указанной в скобках энергией и превращается в ядро стабильного нуклида (никеля).

26

Рис. 1.2.2. Радиоактивные превращения нуклидов

На рис. 1.2.3, б в результате 10-ступенчатого распада ядро радионуклида тория превращается в стабильное ядро нуклида свинца. На каждой ступени распада испускается либо электрон, либо α- частица, а также (как и на рис. 1.2.3, а) фотоны.

2760 Co (T1/2 =5,27 года) → 6028 Ni +β− +γ1 (1,173 МэВ) +γ2 (1,332 МэВ)

а

23290Th (T1/2 =1,4 1010 лет) → 22888 Ra (T1/2 =5,75 года) →

→22889 Ac (T1/2 = 6,15 ч) → 22890Th (T1/2 =1,9 года) →

→22488 Ra (T1/2 =3,36 сут.) → 22086 Rn (T1/2 =55,6 c) →

→21684 Po (T1/2 =0,145 c) → 21282 Pb (T1/2 =10,6 ч) → 21283 Bi (T1/2 = 60 мин) →

→ 20882 Pb (стабильный нуклид)

б

Рис. 1.2.3. Схемы радиоактивных превращений

Источниками ионизирующих частиц (ионизирующего излучения) могут быть не только радионуклидные препараты, но и специальные технические устройства, в которых создаются условия для

27

принудительного превращения ядер атомов. Простейшим примером такого рода может служить ядерная реакция:

21H + 31H → 42 H + 01n + E (энергия)

Условием протекания этой реакции является высокая температура исходных компонентов реакции (большая скорость ядер при их соударении).

Другим примером источника ионизирующих частиц может служить электронно-лучевая трубка осциллографа.

Большое разнообразие ионизирующих излучений создается в процессах деления ядер тяжелых элементов – основы современной ядерной энергетики (рис. 1.2.4).

Ионизирующая радиация (излучение) – особый вид энергии, ко-

торая образуется в результате различных превращений в атомах и сопровождается возникновением рентгеновских лучей, нейтронов, альфа-, бета- и гамма-частиц.

Рис. 1.2.4. Ионизирующее излучение

Ионизирующее излучение не может быть обнаружено органами чувств человека, но его можно обнаружить и измерить техническими средствами – детекторами (дозиметрами на основе фотографических пленок).

Главной количественной характеристикой ионизирующего излучения, которая определяет уровень его воздействия на биологические объекты и возможные последствия этого воздействия, является доза радиации – количество поглощенной энергии от этого излучения.

Пространство, в котором присутствуют ионизирующие частицы,

называется полем ионизирующего излучения. В процессе физиче-

28

вила 107 Бк. Определить постоянную радиоактивного распада. Решение довести до получения уравнения с единственной переменной – искомой величиной λ.

Ответ. Значение λ определится из уравнения:

N1010 = Ae λt (1−e−λt ) / λ.

6.Радиоактивный препарат состоит из смеси двух радионукли-

дов с периодами полураспада Т1 и Т2. Их начальная активность составляет А1 и А2 соответственно.

Определить:

а) активность препарата спустя время Т после начального измерения активности;

б) при каком условии возможно достижение равенства активности радионуклидов двухкомпонентной смеси.

1010 Бк. Через десять суток она снизилась до 109 Бк.

Определить количество распадов, которое произойдет в препарате на протяжении третьей декады, отсчитываемой от указанного начального момента.

8.Решить задачу 7 при условии: вместо периода третьей декады взять период, лежащий между моментами N + 20 и N + 30 сут. За начало отсчета времени принять тот же момент, что и в предыдущей задаче.

9.Какая доля радиоактивного препарата распадется за время, равное N периодам полураспада?

10.Из некоторого раствора с помощью сепаратора извлекается радионуклидный продукт. Производительность сепаратора постоянна и равна V атомов в секунду. Продукт собирается в отдельную емкость, которая в начальный момент пуста. Постоянная распада

радионуклида равна λ с-1.

Определить предельно возможное значение активности продукта в емкости.

Подсказка. За бесконечно малый интервал времени dt приращение числа атомов радионуклида dNp в емкости можно выразить как разность между числом отсепарированных за этот интервал атомов Vdt и числом распавшихся в емкости λNpdt за тот же интервал. За-

30