4. Рациональный выбор времени измерения

К этой задаче можно подойти с двух сторон. Во-первых, можно найти то наименьшее время всех измерений, которое необходимо для получения заданной относительной погрешности  = _А/A окончательной расчетной величины.

Во-вторых, при заданном общем времени, которое отводится для проведения всех измерений, можно найти распределение времени между измерениями, дающее наименьшую относительную погрешность исследуемой величины А.

В реальных экспериментах обычно ставят пробные опыты, в которых проверяется работа отдельных элементов установки, определяются интервалы значений каждой из величин и оцениваются их возможные погрешности. Последнее оказывает непосредственное влияние на проведение всего эксперимента. Большое внимание следует уделять измерению тех величин, погрешности которых вносят основной вклад в погрешность конечного результата. Поэтому при проведении эксперимента следует, априори, расчетным путем оптимизировать времена каждого из измерений с точки зрения их допустимых погрешностей, по возможности провести предварительные измерения, а затем составить план с указанием величин, которые необходимо измерить, и времени, отводимого на каждое измерение.

Рассмотрим случай измерения интенсивности при наличии фона. Если измеряемый эффект определяется по формуле (П.6), а его дисперсия по формуле

,

то соотношение между временами двух измерений t и t_ф, обеспечивающее наименьшую относительную погрешность величины А при заданном полном времени Т = t + t_ф, находится из условия :

(П.8)

Таким образом, для измерения меньшей интенсивности нужно затратить меньше времени, чем для измерений большей интенсивности. Физически это понятно: если одна из интенсивностей мала, то и связанные с ней флуктуации малы по абсолютной величине; поэтому с ними можно считаться меньше, выгоднее потратить основную часть времени на измерение большей интенсивности.

Условие (П.8) определяет также наименьшее Т, необходимое для получения заданной относительной погрешности  = _n/n. В том случае, когда фон точно известен, время, необходимое для измерения интенсивности с заданной степенью точности, определяется соотношением

² = n / t (n – n_ф)². (П.9)

Часто ставится задача определения отношения двух интенсивностей Y = (N₁/t₁)/(N₂/t₂) = n₁/n₂, измеренных за время t₁ и t₂ соответственно. Квадрат относительной погрешности равен сумме квадратов относительных погрешностей делимого и делителя:

.

Так как погрешность скорости счета , то

.

Если фиксировано полное время измерения Т = t₁ + t₂, то оптимальная точность получится при минимальном ² = 1/n₁ t₁ + + 1/n₂ (T – t₁):

;

.

Таким образом, при определении отношения двух интенсивностей меньшую интенсивность следует измерять в течение большего времени, в противоположность случаю разностного опыта.

5. Метод наименьших квадратов

Целью эксперимента может быть изучение функциональной зависимости измеряемых на опыте параметров. Сама функция может быть известна априори (например, закон радиоактивного распада) или получена из разрабатываемой гипотезы. При обработке экспериментального материала задачей исследователя является разработка (или использование известной) методики определения таких параметров, входящих в предложенную функцию, при которых значения функции наилучшим образом соответствовали бы всей совокупности экспериментально измеренных значений исследуемой зависимости. Одним из наиболее мощных, а потому и наиболее часто употребляемых методов, является метод наименьших квадратов, кратко – МНК.

Обозначим через F(a_j, х) функцию, которая должна быть сопоставлена с экспериментальным массивом данных Y_i = Y(х_i), где х_i – параметр (или набор параметров), в зависимости от которого был получен набор {Y_i}. Задача сводится к нахождению таких , которые наилучшим образом соответствуют экспериментальным данным.В случае, когда Y_i распределены нормально со стандартным отклонением _i, эта задача решается методом наименьших квадратов.

Если F(a_j, х) = F_i есть ожидаемое значение Y_i, то вероятность получения Y_i

.

Вероятность полного набора {Y_i} по k экспериментальным точкам х_i, (1  i  k) определяется выражением

.

Функция L(a) носит название функции правдоподобия. Отыскание наилучших сводится к нахождению максимума величиныL(a_j). Практически задача решается следующим образом. Прологарифмируем L(a_j):

,

где

.

Очевидно, что L(a_j) имеет максимум, когда S минимальна. Величина S называется суммой наименьших квадратов, если выполнено условие

. (П.10)

Система уравнений (П.10) является исходной для вычисления коэффициентов . Для определения погрешностейвоспользуемся свойством суммыS: S равна 1, если отклонение Y_i = = |Y_i – F_i| = _i. Разложим S(a_i) в ряд Тейлора в окрестности :

(П.11)

Здесь М – число параметров а_j, а = а – а*,

. (П.12)

Второй член в (П.11) равен нулю по условию (П.10). Из (П.11) получаем:

. (П.13)

Здесь – элемент матрицы ошибок, которая определяется как обратная матрицеH (П.12).

В случае нелинейной зависимости F(a_j, х) от а_j нахождение а_j и _j аналитически невозможно, и поэтому применяются численные методы с применением ЭВМ.

Рассмотрим случай линейной зависимости F(a_j, х) от а_j, который часто встречается в лабораторном практикуме:

.

Используя соотношения (П.10) и (П.12), имеем:

,

.

Определим

.

Тогда

.

В общем случае удобнее записать систему М уравнений в матричной форме:

.

Для примера рассмотрим случай, когда F(a, х) является параболой F(a, х) = а₁ + a₂ x²:

f₁ = 1; f₂ = x²;

;

;

.

Критерием соответствия используемой функции F(а_j, х) экспериментальным данным является величина . ЕслиY_i нормально распределены, то S описывается ²-распределением с k – М – 1 = Р числом степеней свободы (здесь, как и раньше, k – число измеренных точек, М – число искомых параметров). Ожидаемое значение . ДисперсияD(²) = 2P. Уровень соответствия выбранной функции F(а_j, х) экспериментальным данным определяется по таблице вероятности получения ² больше данного при Р степенях свободы. При Р  30 распределение ² переходит в нормальное с . Сильное (например, за ±4, что соответствует вероятности реализации менее 10^–4) отклонение ² от ожидаемого не должно без дополнительного анализа служить основанием к отказу от проверяемой гипотезы Y(х) = F(а_j, х). Причинами такого отклонения могут быть:

при неправильные (завышенные) погрешности, приписываемые измереннымY_i;

при :

а) та же причина, что и в первом случае, но _i занижены,

б) грубые ошибки, возникшие при измерениях некоторых из Y_i.

Для проверки этой гипотезы следует вычислить вклад каждой точки в. В среднемдолжны быть порядка единицы. Точки с недопустимо большимипри данномР должны быть перемерены.